Theorem 2idl1 14325

Description: Every ring contains a unit two-sided ideal. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idl0.u	|- I = (2Ideal ` R )
2idl1.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
2idl1	|- ( R e. Ring -> B e. I )

Proof of Theorem 2idl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . 4 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
2		2idl1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3	1, 2	lidl1 14302	. . 3 |- ( R e. Ring -> B e. (LIdeal ` R ) )
4		eqid 2206	. . . 4 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
5	4, 2	ridl1 14323	. . 3 |- ( R e. Ring -> B e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) )
6	3, 5	elind 3360	. 2 |- ( R e. Ring -> B e. ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
7		eqid 2206	. . 3 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
8		2idl0.u	. . 3 |- I = (2Ideal ` R )
9	1, 7, 4, 8	2idlvalg 14315	. 2 |- ( R e. Ring -> I = ( (LIdeal ` R ) i^i (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
10	6, 9	eleqtrrd 2286	1 |- ( R e. Ring -> B e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   i^i cin 3167   ` cfv 5277   Basecbs 12882   Ringcrg 13808  opp_rcoppr 13879  LIdealclidl 14279  2Idealc2idl 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-tpos 6341  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-ltxr 8125  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-ip 12977  df-0g 13140  df-mgm 13238  df-sgrp 13284  df-mnd 13299  df-grp 13385  df-minusg 13386  df-subg 13556  df-mgp 13733  df-ur 13772  df-ring 13810  df-oppr 13880  df-subrg 14031  df-lmod 14101  df-lssm 14165  df-sra 14247  df-rgmod 14248  df-lidl 14281  df-2idl 14312

This theorem is referenced by: (None)