ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodidr Unicode version

Theorem addmodidr 10316
Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodidr  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( A  +  M
)  mod  M )  =  A )

Proof of Theorem addmodidr
StepHypRef Expression
1 nn0cn 9132 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  CC )
2 nncn 8873 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
3 addcom 8043 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( A  +  M
)  =  ( M  +  A ) )
41, 2, 3syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  +  M
)  =  ( M  +  A ) )
543adant3 1012 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  ( A  +  M )  =  ( M  +  A ) )
65oveq1d 5865 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( A  +  M
)  mod  M )  =  ( ( M  +  A )  mod 
M ) )
7 addmodid 10315 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( M  +  A
)  mod  M )  =  A )
86, 7eqtrd 2203 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( A  +  M
)  mod  M )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   CCcc 7759    + caddc 7764    < clt 7941   NNcn 8865   NN0cn0 9122    mod cmo 10265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-q 9566  df-rp 9598  df-ico 9838  df-fl 10213  df-mod 10266
This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10338
  Copyright terms: Public domain W3C validator