Theorem addmodid 10145

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	|- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = A )

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 982	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. NN )
2	1	nncnd 8734	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. CC )
3	2	mulid2d 7784	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( 1 x. M ) = M )
4	3	eqcomd 2145	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M = ( 1 x. M ) )
5	4	oveq1d 5789	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( M + A ) = ( ( 1 x. M ) + A ) )
6	5	oveq1d 5789	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) )
7		1zzd 9081	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> 1 e. ZZ )
8		nnq 9425	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
9	8	3ad2ant2 1003	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. QQ )
10		simp1 981	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. NN0 )
11	10	nn0zd 9171	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. ZZ )
12		zq 9418	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. QQ )
14		nn0re 8986	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
15	14	3ad2ant1 1002	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. RR )
16	10	nn0ge0d 9033	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> 0 <_ A )
17		simp3 983	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A < M )
18		0re 7766	. . . . 5 |- 0 e. RR
19		nnre 8727	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. RR )
20	19	rexrd 7815	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR* )
21	20	3ad2ant2 1003	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. RR* )
22		elico2 9720	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,) M ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < M ) ) )
23	18, 21, 22	sylancr 410	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( A e. ( 0 [,) M ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < M ) ) )
24	15, 16, 17, 23	mpbir3and 1164	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. ( 0 [,) M ) )
25		mulqaddmodid 10137	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. QQ ) /\ ( A e. QQ /\ A e. ( 0 [,) M ) ) ) -> ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) = A )
26	7, 9, 13, 24, 25	syl22anc 1217	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) = A )
27	6, 26	eqtrd 2172	1 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   QQcq 9411   [,)cico 9673   mod cmo 10095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fl 10043  df-mod 10096

This theorem is referenced by:  addmodidr  10146