Theorem addmodid 10443

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	|- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = A )

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. NN )
2	1	nncnd 8996	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. CC )
3	2	mulid2d 8038	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( 1 x. M ) = M )
4	3	eqcomd 2199	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M = ( 1 x. M ) )
5	4	oveq1d 5933	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( M + A ) = ( ( 1 x. M ) + A ) )
6	5	oveq1d 5933	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) )
7		1zzd 9344	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> 1 e. ZZ )
8		nnq 9698	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
9	8	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. QQ )
10		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. NN0 )
11	10	nn0zd 9437	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. ZZ )
12		zq 9691	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. QQ )
14		nn0re 9249	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
15	14	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. RR )
16	10	nn0ge0d 9296	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> 0 <_ A )
17		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A < M )
18		0re 8019	. . . . 5 |- 0 e. RR
19		nnre 8989	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. RR )
20	19	rexrd 8069	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR* )
21	20	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. RR* )
22		elico2 10003	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,) M ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < M ) ) )
23	18, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( A e. ( 0 [,) M ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < M ) ) )
24	15, 16, 17, 23	mpbir3and 1182	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. ( 0 [,) M ) )
25		mulqaddmodid 10435	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. QQ ) /\ ( A e. QQ /\ A e. ( 0 [,) M ) ) ) -> ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) = A )
26	7, 9, 13, 24, 25	syl22anc 1250	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) = A )
27	6, 26	eqtrd 2226	1 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   RR*cxr 8053   < clt 8054   <_ cle 8055   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   QQcq 9684   [,)cico 9956   mod cmo 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-ico 9960  df-fl 10339  df-mod 10394

This theorem is referenced by:  addmodidr  10444