Theorem addmodid 10678

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	|- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = A )

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. NN )
2	1	nncnd 9200	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. CC )
3	2	mulid2d 8241	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( 1 x. M ) = M )
4	3	eqcomd 2237	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M = ( 1 x. M ) )
5	4	oveq1d 6043	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( M + A ) = ( ( 1 x. M ) + A ) )
6	5	oveq1d 6043	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) )
7		1zzd 9549	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> 1 e. ZZ )
8		nnq 9910	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
9	8	3ad2ant2 1046	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. QQ )
10		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. NN0 )
11	10	nn0zd 9643	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. ZZ )
12		zq 9903	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. QQ )
14		nn0re 9454	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
15	14	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. RR )
16	10	nn0ge0d 9501	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> 0 <_ A )
17		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A < M )
18		0re 8222	. . . . 5 |- 0 e. RR
19		nnre 9193	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. RR )
20	19	rexrd 8272	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR* )
21	20	3ad2ant2 1046	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. RR* )
22		elico2 10215	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,) M ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < M ) ) )
23	18, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( A e. ( 0 [,) M ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < M ) ) )
24	15, 16, 17, 23	mpbir3and 1207	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. ( 0 [,) M ) )
25		mulqaddmodid 10670	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. QQ ) /\ ( A e. QQ /\ A e. ( 0 [,) M ) ) ) -> ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) = A )
26	7, 9, 13, 24, 25	syl22anc 1275	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) = A )
27	6, 26	eqtrd 2264	1 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   RR*cxr 8256   < clt 8257   <_ cle 8258   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   QQcq 9896   [,)cico 10168   mod cmo 10628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-q 9897  df-rp 9932  df-ico 10172  df-fl 10574  df-mod 10629

This theorem is referenced by:  addmodidr  10679