Theorem addmodid 10374

Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addmodid	|- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = A )

Proof of Theorem addmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. NN )
2	1	nncnd 8935	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. CC )
3	2	mulid2d 7978	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( 1 x. M ) = M )
4	3	eqcomd 2183	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M = ( 1 x. M ) )
5	4	oveq1d 5892	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( M + A ) = ( ( 1 x. M ) + A ) )
6	5	oveq1d 5892	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) )
7		1zzd 9282	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> 1 e. ZZ )
8		nnq 9635	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
9	8	3ad2ant2 1019	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. QQ )
10		simp1 997	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. NN0 )
11	10	nn0zd 9375	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. ZZ )
12		zq 9628	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. QQ )
14		nn0re 9187	. . . . 5 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
15	14	3ad2ant1 1018	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. RR )
16	10	nn0ge0d 9234	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> 0 <_ A )
17		simp3 999	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A < M )
18		0re 7959	. . . . 5 |- 0 e. RR
19		nnre 8928	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. RR )
20	19	rexrd 8009	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR* )
21	20	3ad2ant2 1019	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> M e. RR* )
22		elico2 9939	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR* ) -> ( A e. ( 0 [,) M ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < M ) ) )
23	18, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( A e. ( 0 [,) M ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < M ) ) )
24	15, 16, 17, 23	mpbir3and 1180	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> A e. ( 0 [,) M ) )
25		mulqaddmodid 10366	. . 3 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. QQ ) /\ ( A e. QQ /\ A e. ( 0 [,) M ) ) ) -> ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) = A )
26	7, 9, 13, 24, 25	syl22anc 1239	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( ( 1 x. M ) + A ) mod M ) = A )
27	6, 26	eqtrd 2210	1 |- ( ( A e. NN0 /\ M e. NN /\ A < M ) -> ( ( M + A ) mod M ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   RR*cxr 7993   < clt 7994   <_ cle 7995   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   QQcq 9621   [,)cico 9892   mod cmo 10324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-ico 9896  df-fl 10272  df-mod 10325

This theorem is referenced by:  addmodidr  10375