ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addmodid Unicode version

Theorem addmodid 10275
Description: The sum of a positive integer and a nonnegative integer less than the positive integer is equal to the nonnegative integer modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
addmodid  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( M  +  A
)  mod  M )  =  A )

Proof of Theorem addmodid
StepHypRef Expression
1 simp2 983 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  e.  NN )
21nncnd 8848 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  e.  CC )
32mulid2d 7897 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
1  x.  M )  =  M )
43eqcomd 2163 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  =  ( 1  x.  M ) )
54oveq1d 5840 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  ( M  +  A )  =  ( ( 1  x.  M )  +  A ) )
65oveq1d 5840 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( M  +  A
)  mod  M )  =  ( ( ( 1  x.  M )  +  A )  mod 
M ) )
7 1zzd 9195 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  1  e.  ZZ )
8 nnq 9543 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
983ad2ant2 1004 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  e.  QQ )
10 simp1 982 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  NN0 )
1110nn0zd 9285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  ZZ )
12 zq 9536 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  QQ )
14 nn0re 9100 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
15143ad2ant1 1003 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  RR )
1610nn0ge0d 9147 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  0  <_  A )
17 simp3 984 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  <  M )
18 0re 7879 . . . . 5  |-  0  e.  RR
19 nnre 8841 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
2019rexrd 7928 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR* )
21203ad2ant2 1004 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  M  e.  RR* )
22 elico2 9842 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR* )  -> 
( A  e.  ( 0 [,) M )  <-> 
( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  M ) ) )
2318, 21, 22sylancr 411 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) M )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <  M
) ) )
2415, 16, 17, 23mpbir3and 1165 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  A  e.  ( 0 [,) M
) )
25 mulqaddmodid 10267 . . 3  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  QQ )  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ( 0 [,) M
) ) )  -> 
( ( ( 1  x.  M )  +  A )  mod  M
)  =  A )
267, 9, 13, 24, 25syl22anc 1221 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( ( 1  x.  M )  +  A
)  mod  M )  =  A )
276, 26eqtrd 2190 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  A  <  M )  ->  (
( M  +  A
)  mod  M )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   RRcr 7732   0cc0 7733   1c1 7734    + caddc 7736    x. cmul 7738   RR*cxr 7912    < clt 7913    <_ cle 7914   NNcn 8834   NN0cn0 9091   ZZcz 9168   QQcq 9529   [,)cico 9795    mod cmo 10225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-q 9530  df-rp 9562  df-ico 9799  df-fl 10173  df-mod 10226
This theorem is referenced by:  addmodidr  10276
  Copyright terms: Public domain W3C validator