Theorem apdivmuld 8717

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divmuld.3	|- ( ph -> C e. CC )
divmulapd.4	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
apdivmuld	|- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( B x. C ) # A ) )

Proof of Theorem apdivmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3		divmulapd.4	. . . 4 |- ( ph -> B # 0 )
4	1, 2, 3	divclapd 8694	. . 3 |- ( ph -> ( A / B ) e. CC )
5		divmuld.3	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
6		apmul1 8692	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ C e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( A / B ) # C <-> ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) ) )
7	4, 5, 2, 3, 6	syl112anc 1237	. 2 |- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) ) )
8	1, 2, 3	divcanap1d 8695	. . 3 |- ( ph -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
9	5, 2	mulcomd 7928	. . 3 |- ( ph -> ( C x. B ) = ( B x. C ) )
10	8, 9	breq12d 4000	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) <-> A # ( B x. C ) ) )
11	2, 5	mulcld 7927	. . 3 |- ( ph -> ( B x. C ) e. CC )
12		apsym 8512	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) -> ( A # ( B x. C ) <-> ( B x. C ) # A ) )
13	1, 11, 12	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( A # ( B x. C ) <-> ( B x. C ) # A ) )
14	7, 10, 13	3bitrd 213	1 |- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( B x. C ) # A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   CCcc 7759   0cc0 7761   x. cmul 7766   # cap 8487   / cdiv 8576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577

This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11688