Theorem apdivmuld 8822

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divmuld.3	|- ( ph -> C e. CC )
divmulapd.4	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
apdivmuld	|- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( B x. C ) # A ) )

Proof of Theorem apdivmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3		divmulapd.4	. . . 4 |- ( ph -> B # 0 )
4	1, 2, 3	divclapd 8799	. . 3 |- ( ph -> ( A / B ) e. CC )
5		divmuld.3	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
6		apmul1 8797	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ C e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( A / B ) # C <-> ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) ) )
7	4, 5, 2, 3, 6	syl112anc 1253	. 2 |- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) ) )
8	1, 2, 3	divcanap1d 8800	. . 3 |- ( ph -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
9	5, 2	mulcomd 8031	. . 3 |- ( ph -> ( C x. B ) = ( B x. C ) )
10	8, 9	breq12d 4042	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) <-> A # ( B x. C ) ) )
11	2, 5	mulcld 8030	. . 3 |- ( ph -> ( B x. C ) e. CC )
12		apsym 8615	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) -> ( A # ( B x. C ) <-> ( B x. C ) # A ) )
13	1, 11, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A # ( B x. C ) <-> ( B x. C ) # A ) )
14	7, 10, 13	3bitrd 214	1 |- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( B x. C ) # A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5910   CCcc 7860   0cc0 7862   x. cmul 7867   # cap 8590   / cdiv 8681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682

This theorem is referenced by:  irrmulap  9703  tanaddaplem  11871