Theorem apdivmuld 8730

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divmuld.3	|- ( ph -> C e. CC )
divmulapd.4	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
apdivmuld	|- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( B x. C ) # A ) )

Proof of Theorem apdivmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3		divmulapd.4	. . . 4 |- ( ph -> B # 0 )
4	1, 2, 3	divclapd 8707	. . 3 |- ( ph -> ( A / B ) e. CC )
5		divmuld.3	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
6		apmul1 8705	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ C e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( A / B ) # C <-> ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) ) )
7	4, 5, 2, 3, 6	syl112anc 1237	. 2 |- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) ) )
8	1, 2, 3	divcanap1d 8708	. . 3 |- ( ph -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
9	5, 2	mulcomd 7941	. . 3 |- ( ph -> ( C x. B ) = ( B x. C ) )
10	8, 9	breq12d 4002	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) <-> A # ( B x. C ) ) )
11	2, 5	mulcld 7940	. . 3 |- ( ph -> ( B x. C ) e. CC )
12		apsym 8525	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) -> ( A # ( B x. C ) <-> ( B x. C ) # A ) )
13	1, 11, 12	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( A # ( B x. C ) <-> ( B x. C ) # A ) )
14	7, 10, 13	3bitrd 213	1 |- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( B x. C ) # A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   x. cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590

This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11701