Theorem apdivmuld 8916

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divmuld.3	|- ( ph -> C e. CC )
divmulapd.4	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
apdivmuld	|- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( B x. C ) # A ) )

Proof of Theorem apdivmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3		divmulapd.4	. . . 4 |- ( ph -> B # 0 )
4	1, 2, 3	divclapd 8893	. . 3 |- ( ph -> ( A / B ) e. CC )
5		divmuld.3	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
6		apmul1 8891	. . 3 |- ( ( ( A / B ) e. CC /\ C e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( A / B ) # C <-> ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) ) )
7	4, 5, 2, 3, 6	syl112anc 1254	. 2 |- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) ) )
8	1, 2, 3	divcanap1d 8894	. . 3 |- ( ph -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
9	5, 2	mulcomd 8124	. . 3 |- ( ph -> ( C x. B ) = ( B x. C ) )
10	8, 9	breq12d 4067	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A / B ) x. B ) # ( C x. B ) <-> A # ( B x. C ) ) )
11	2, 5	mulcld 8123	. . 3 |- ( ph -> ( B x. C ) e. CC )
12		apsym 8709	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) -> ( A # ( B x. C ) <-> ( B x. C ) # A ) )
13	1, 11, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A # ( B x. C ) <-> ( B x. C ) # A ) )
14	7, 10, 13	3bitrd 214	1 |- ( ph -> ( ( A / B ) # C <-> ( B x. C ) # A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2177   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962   CCcc 7953   0cc0 7955   x. cmul 7960   # cap 8684   / cdiv 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776

This theorem is referenced by:  irrmulap  9799  tanaddaplem  12134