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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > apsym | Unicode version |
Description: Apartness is symmetric. This theorem for real numbers is part of Definition 11.2.7(v) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2020.) |
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apsym |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cnre 7952 |
. . 3
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2 | 1 | adantl 277 |
. 2
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3 | cnre 7952 |
. . . . . 6
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4 | 3 | ad3antrrr 492 |
. . . . 5
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5 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . . 12
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6 | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . . . 13
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7 | 6 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
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8 | reaplt 8544 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 5, 7, 8 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | reaplt 8544 |
. . . . . . . . . . . . 13
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11 | 7, 5, 10 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | orcom 728 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | 11, 12 | bitr4di 198 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 9, 13 | bitr4d 191 |
. . . . . . . . . 10
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15 | simplrr 536 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | simplrr 536 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 16 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | reaplt 8544 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 15, 17, 18 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | reaplt 8544 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 17, 15, 20 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | orcom 728 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | 21, 22 | bitr4di 198 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 19, 23 | bitr4d 191 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 14, 24 | orbi12d 793 |
. . . . . . . . 9
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26 | apreim 8559 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 5, 15, 7, 17, 26 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . 9
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28 | apreim 8559 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 7, 17, 5, 15, 28 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . 9
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30 | 25, 27, 29 | 3bitr4d 220 |
. . . . . . . 8
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31 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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32 | simpllr 534 |
. . . . . . . . 9
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33 | 31, 32 | breq12d 4016 |
. . . . . . . 8
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34 | 32, 31 | breq12d 4016 |
. . . . . . . 8
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35 | 30, 33, 34 | 3bitr4d 220 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | ex 115 |
. . . . . 6
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37 | 36 | rexlimdvva 2602 |
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38 | 4, 37 | mpd 13 |
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39 | 38 | ex 115 |
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40 | 39 | rexlimdvva 2602 |
. 2
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41 | 2, 40 | mpd 13 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4121 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-br 4004 df-opab 4065 df-id 4293 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-ltxr 7996 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 |
This theorem is referenced by: addext 8566 mulext 8570 ltapii 8591 ltapd 8594 aptap 8606 apdivmuld 8769 div2subap 8793 recgt0 8806 prodgt0 8808 pwm1geoserap1 11515 absgtap 11517 geolim 11518 geolim2 11519 geo2sum2 11522 geoisum1c 11527 tanaddap 11746 egt2lt3 11786 sqrt2irraplemnn 12178 triap 14747 apdiff 14766 |
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