Theorem divcanap1d 9123

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divclapd.3	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcanap1d	|- ( ph -> ( ( A / B ) x. B ) = A )

Proof of Theorem divcanap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divclapd.3	. 2 |- ( ph -> B # 0 )
4		divcanap1 9013	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1278	1 |- ( ph -> ( ( A / B ) x. B ) = A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   x. cmul 8184   # cap 8911   / cdiv 9004

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005

This theorem is used by:  apdivmuld  9145  ltdiv23  9224  lediv23  9225  recp1lt1  9231  ledivp1  9235  subhalfhalf  9544  xp1d2m1eqxm1d2  9562  div4p1lem1div2  9563  qmulz  10032  iccf1o  10417  bcpasc  11218  resqrexlemcalc1  11794  sqrtdiv  11822  geo2sum  12297  dvdsval2  12573  flodddiv4t2lthalf  12722  dvdsgcdidd  12787  mulgcddvds  12888  qredeq  12890  isprm6  12942  sqrt2irrlem  12956  qmuldeneqnum  12991  hashgcdlem  13036  pcqdiv  13106  pockthlem  13155  4sqlem5  13181  4sqlem12  13201  4sqlem15  13204  znidomb  15042  znrrg  15044  dvcnp2cntop  15849  rpcxplogb  16119  logbgcd1irr  16122  logbgcd1irraplemap  16124  bposlem3  16211  lgslem1  16217  gausslemma2dlem1a  16275  lgsquadlem1  16294  2lgslem1a1  16303