Theorem divcanap1d 8312

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divclapd.3	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
divcanap1d	|- ( ph -> ( ( A / B ) x. B ) = A )

Proof of Theorem divcanap1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divclapd.3	. 2 |- ( ph -> B # 0 )
4		divcanap1 8202	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B # 0 ) -> ( ( A / B ) x. B ) = A )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1175	1 |- ( ph -> ( ( A / B ) x. B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   CCcc 7402   0cc0 7404   x. cmul 7409   # cap 8112   / cdiv 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194

This theorem is referenced by:  apdivmuld  8334  ltdiv23  8407  lediv23  8408  recp1lt1  8414  ledivp1  8418  xp1d2m1eqxm1d2  8722  div4p1lem1div2  8723  qmulz  9162  iccf1o  9475  bcpasc  10228  resqrexlemcalc1  10501  sqrtdiv  10529  geo2sum  10962  dvdsval2  11131  flodddiv4t2lthalf  11269  mulgcddvds  11408  qredeq  11410  isprm6  11458  sqrt2irrlem  11472  qmuldeneqnum  11505  hashgcdlem  11535