ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apdivmuld GIF version

Theorem apdivmuld 8789
Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
divcld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
divcld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
divmuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
divmulapd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)
Assertion
Ref Expression
apdivmuld (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) # ๐ถ โ†” (๐ต ยท ๐ถ) # ๐ด))

Proof of Theorem apdivmuld
StepHypRef Expression
1 divcld.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 divcld.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 divmulapd.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)
41, 2, 3divclapd 8766 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5 divmuld.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6 apmul1 8764 . . 3 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) # ๐ถ โ†” ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) # (๐ถ ยท ๐ต)))
74, 5, 2, 3, 6syl112anc 1253 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) # ๐ถ โ†” ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) # (๐ถ ยท ๐ต)))
81, 2, 3divcanap1d 8767 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
95, 2mulcomd 7998 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ถ))
108, 9breq12d 4031 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) # (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด # (๐ต ยท ๐ถ)))
112, 5mulcld 7997 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
12 apsym 8582 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # (๐ต ยท ๐ถ) โ†” (๐ต ยท ๐ถ) # ๐ด))
131, 11, 12syl2anc 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # (๐ต ยท ๐ถ) โ†” (๐ต ยท ๐ถ) # ๐ด))
147, 10, 133bitrd 214 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) # ๐ถ โ†” (๐ต ยท ๐ถ) # ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 105   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  0cc0 7830   ยท cmul 7835   # cap 8557   / cdiv 8648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649
This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11765
  Copyright terms: Public domain W3C validator