Theorem apdivmuld 8783

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmulapd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)

Assertion

Ref	Expression
apdivmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))

Proof of Theorem apdivmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmulapd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
4	1, 2, 3	divclapd 8760	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		divmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6		apmul1 8758	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵)))
7	4, 5, 2, 3, 6	syl112anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵)))
8	1, 2, 3	divcanap1d 8761	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
9	5, 2	mulcomd 7992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
10	8, 9	breq12d 4028	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 # (𝐵 · 𝐶)))
11	2, 5	mulcld 7991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12		apsym 8576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 # (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))
13	1, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))
14	7, 10, 13	3bitrd 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  0cc0 7824   · cmul 7829   # cap 8551   / cdiv 8642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643

This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11759