Theorem apdivmuld 8789

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmulapd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)

Assertion

Ref	Expression
apdivmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))

Proof of Theorem apdivmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmulapd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
4	1, 2, 3	divclapd 8766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		divmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6		apmul1 8764	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵)))
7	4, 5, 2, 3, 6	syl112anc 1253	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵)))
8	1, 2, 3	divcanap1d 8767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
9	5, 2	mulcomd 7998	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
10	8, 9	breq12d 4031	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 # (𝐵 · 𝐶)))
11	2, 5	mulcld 7997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12		apsym 8582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 # (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))
13	1, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))
14	7, 10, 13	3bitrd 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  ℂcc 7828  0cc0 7830   · cmul 7835   # cap 8557   / cdiv 8648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649

This theorem is referenced by:  tanaddaplem  11765