Theorem apdivmuld 9036

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divmulapd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)

Assertion

Ref	Expression
apdivmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))

Proof of Theorem apdivmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmulapd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
4	1, 2, 3	divclapd 9013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		divmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6		apmul1 9011	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵)))
7	4, 5, 2, 3, 6	syl112anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵)))
8	1, 2, 3	divcanap1d 9014	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
9	5, 2	mulcomd 8244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
10	8, 9	breq12d 4106	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) # (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 # (𝐵 · 𝐶)))
11	2, 5	mulcld 8243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12		apsym 8829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 # (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))
13	1, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # (𝐵 · 𝐶) ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))
14	7, 10, 13	3bitrd 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) # 𝐶 ↔ (𝐵 · 𝐶) # 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  0cc0 8075   · cmul 8080   # cap 8804   / cdiv 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896

This theorem is referenced by:  irrmulap  9925  tanaddaplem  12360