ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax0lt1 Unicode version

Theorem ax0lt1 7877
Description: 0 is less than 1. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0lt1 7919.

The version of this axiom in the Metamath Proof Explorer reads  1  =/=  0; here we change it to  0  <RR  1. The proof of  0  <RR  1 from  1  =/=  0 in the Metamath Proof Explorer (accessed 12-Jan-2020) relies on real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
ax0lt1  |-  0  <RR  1

Proof of Theorem ax0lt1
StepHypRef Expression
1 0lt1sr 7766 . . 3  |-  0R  <R  1R
2 ltresr 7840 . . 3  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. 1R ,  0R >. 
<->  0R  <R  1R )
31, 2mpbir 146 . 2  |-  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. 1R ,  0R >.
4 df-0 7820 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
5 df-1 7821 . 2  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
63, 4, 53brtr4i 4035 1  |-  0  <RR  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   <.cop 3597   class class class wbr 4005   0Rc0r 7299   1Rc1r 7300    <R cltr 7304   0cc0 7813   1c1 7814    <RR cltrr 7817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-iltp 7471  df-enr 7727  df-nr 7728  df-ltr 7731  df-0r 7732  df-1r 7733  df-0 7820  df-1 7821  df-r 7823  df-lt 7826
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator