Theorem ax0lt1 8059

Description: 0 is less than 1. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0lt1 8101.

The version of this axiom in the Metamath Proof Explorer reads 1 =/= 0; here we change it to 0 <RR 1. The proof of 0 <RR 1 from 1 =/= 0 in the Metamath Proof Explorer (accessed 12-Jan-2020) relies on real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax0lt1	|- 0 <RR 1

Proof of Theorem ax0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1sr 7948	. . 3 |- 0R <R 1R
2		ltresr 8022	. . 3 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. 1R , 0R >. <-> 0R <R 1R )
3	1, 2	mpbir 146	. 2 |- <. 0R , 0R >. <RR <. 1R , 0R >.
4		df-0 8002	. 2 |- 0 = <. 0R , 0R >.
5		df-1 8003	. 2 |- 1 = <. 1R , 0R >.
6	3, 4, 5	3brtr4i 4112	1 |- 0 <RR 1

Syntax hints:   <.cop 3669   class class class wbr 4082   0Rc0r 7481   1Rc1r 7482   <R cltr 7486   0cc0 7995   1c1 7996   <RR cltrr 7999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-enq0 7607  df-nq0 7608  df-0nq0 7609  df-plq0 7610  df-mq0 7611  df-inp 7649  df-i1p 7650  df-iplp 7651  df-iltp 7653  df-enr 7909  df-nr 7910  df-ltr 7913  df-0r 7914  df-1r 7915  df-0 8002  df-1 8003  df-r 8005  df-lt 8008

This theorem is referenced by: (None)