ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax0lt1 Unicode version

Theorem ax0lt1 7411
Description: 0 is less than 1. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0lt1 7451.

The version of this axiom in the Metamath Proof Explorer reads  1  =/=  0; here we change it to  0  <RR  1. The proof of  0  <RR  1 from  1  =/=  0 in the Metamath Proof Explorer (accessed 12-Jan-2020) relies on real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
ax0lt1  |-  0  <RR  1

Proof of Theorem ax0lt1
StepHypRef Expression
1 0lt1sr 7311 . . 3  |-  0R  <R  1R
2 ltresr 7376 . . 3  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. 1R ,  0R >. 
<->  0R  <R  1R )
31, 2mpbir 144 . 2  |-  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. 1R ,  0R >.
4 df-0 7357 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
5 df-1 7358 . 2  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
63, 4, 53brtr4i 3873 1  |-  0  <RR  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   <.cop 3449   class class class wbr 3845   0Rc0r 6857   1Rc1r 6858    <R cltr 6862   0cc0 7350   1c1 7351    <RR cltrr 7354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-i1p 7026  df-iplp 7027  df-iltp 7029  df-enr 7272  df-nr 7273  df-ltr 7276  df-0r 7277  df-1r 7278  df-0 7357  df-1 7358  df-r 7360  df-lt 7363
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator