ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Unicode version

Theorem axi2m1 7795
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 7837. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 7670 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
2 1sr 7671 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
3 mulcnsr 7755 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >. )
41, 2, 1, 2, 3mp4an 424 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.
5 00sr 7689 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
7 1idsr 7688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  1R )  =  1R )
82, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1R 
.R  1R )  =  1R
98oveq2i 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  ( -1R  .R  1R )
10 m1r 7672 . . . . . . . . . 10  |-  -1R  e.  R.
11 1idsr 7688 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R
139, 12eqtri 2178 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  -1R
146, 13oveq12i 5836 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  ( 0R  +R  -1R )
15 addcomsrg 7675 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( 0R  +R  -1R )  =  ( -1R  +R  0R ) )
161, 10, 15mp2an 423 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  -1R )  =  ( -1R  +R  0R )
17 0idsr 7687 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
1810, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
1914, 16, 183eqtri 2182 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  -1R
20 00sr 7689 . . . . . . . . 9  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
22 1idsr 7688 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  1R )  =  0R )
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  1R )  =  0R
2421, 23oveq12i 5836 . . . . . . 7  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  ( 0R  +R  0R )
25 0idsr 7687 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
261, 25ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2724, 26eqtri 2178 . . . . . 6  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  0R
2819, 27opeq12i 3746 . . . . 5  |-  <. (
( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.  =  <. -1R
,  0R >.
294, 28eqtri 2178 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. -1R ,  0R >.
3029oveq1i 5834 . . 3  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )
31 addresr 7757 . . . 4  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. -1R ,  0R >.  + 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >. )
3210, 2, 31mp2an 423 . . 3  |-  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.
33 m1p1sr 7680 . . . 4  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
3433opeq1i 3744 . . 3  |-  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
3530, 32, 343eqtri 2182 . 2  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. 0R ,  0R >.
36 df-i 7741 . . . 4  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
3736, 36oveq12i 5836 . . 3  |-  ( _i  x.  _i )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )
38 df-1 7740 . . 3  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
3937, 38oveq12i 5836 . 2  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  ( ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )
40 df-0 7739 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
4135, 39, 403eqtr4i 2188 1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1335    e. wcel 2128   <.cop 3563  (class class class)co 5824   R.cnr 7217   0Rc0r 7218   1Rc1r 7219   -1Rcm1r 7220    +R cplr 7221    .R cmr 7222   0cc0 7732   1c1 7733   _ici 7734    + caddc 7735    x. cmul 7737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-i1p 7387  df-iplp 7388  df-imp 7389  df-enr 7646  df-nr 7647  df-plr 7648  df-mr 7649  df-0r 7651  df-1r 7652  df-m1r 7653  df-c 7738  df-0 7739  df-1 7740  df-i 7741  df-add 7743  df-mul 7744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator