ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Unicode version

Theorem axi2m1 7471
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 7511. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 7357 . . . . . 6  |-  0R  e.  R.
2 1sr 7358 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
3 mulcnsr 7433 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >. )
41, 2, 1, 2, 3mp4an 419 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.
5 00sr 7376 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
61, 5ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
7 1idsr 7375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  1R )  =  1R )
82, 7ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1R 
.R  1R )  =  1R
98oveq2i 5677 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  ( -1R  .R  1R )
10 m1r 7359 . . . . . . . . . 10  |-  -1R  e.  R.
11 1idsr 7375 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R )
1210, 11ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  1R )  =  -1R
139, 12eqtri 2109 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  1R ) )  =  -1R
146, 13oveq12i 5678 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  ( 0R  +R  -1R )
15 addcomsrg 7362 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( 0R  +R  -1R )  =  ( -1R  +R  0R ) )
161, 10, 15mp2an 418 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  -1R )  =  ( -1R  +R  0R )
17 0idsr 7374 . . . . . . . 8  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
1810, 17ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
1914, 16, 183eqtri 2113 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) )  =  -1R
20 00sr 7376 . . . . . . . . 9  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
212, 20ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
22 1idsr 7375 . . . . . . . . 9  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  1R )  =  0R )
231, 22ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( 0R 
.R  1R )  =  0R
2421, 23oveq12i 5678 . . . . . . 7  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  ( 0R  +R  0R )
25 0idsr 7374 . . . . . . . 8  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
261, 25ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2724, 26eqtri 2109 . . . . . 6  |-  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) )  =  0R
2819, 27opeq12i 3633 . . . . 5  |-  <. (
( 0R  .R  0R )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  1R )
) ) ,  ( ( 1R  .R  0R )  +R  ( 0R  .R  1R ) ) >.  =  <. -1R
,  0R >.
294, 28eqtri 2109 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  =  <. -1R ,  0R >.
3029oveq1i 5676 . . 3  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )
31 addresr 7435 . . . 4  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  -> 
( <. -1R ,  0R >.  + 
<. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >. )
3210, 2, 31mp2an 418 . . 3  |-  ( <. -1R ,  0R >.  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.
33 m1p1sr 7367 . . . 4  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
3433opeq1i 3631 . . 3  |-  <. ( -1R  +R  1R ) ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
3530, 32, 343eqtri 2113 . 2  |-  ( (
<. 0R ,  1R >.  x. 
<. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )  =  <. 0R ,  0R >.
36 df-i 7420 . . . 4  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
3736, 36oveq12i 5678 . . 3  |-  ( _i  x.  _i )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )
38 df-1 7419 . . 3  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
3937, 38oveq12i 5678 . 2  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  ( ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. 0R ,  1R >. )  +  <. 1R ,  0R >. )
40 df-0 7418 . 2  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
4135, 39, 403eqtr4i 2119 1  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1290    e. wcel 1439   <.cop 3453  (class class class)co 5666   R.cnr 6917   0Rc0r 6918   1Rc1r 6919   -1Rcm1r 6920    +R cplr 6921    .R cmr 6922   0cc0 7411   1c1 7412   _ici 7413    + caddc 7414    x. cmul 7416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973  df-enq0 7044  df-nq0 7045  df-0nq0 7046  df-plq0 7047  df-mq0 7048  df-inp 7086  df-i1p 7087  df-iplp 7088  df-imp 7089  df-enr 7333  df-nr 7334  df-plr 7335  df-mr 7336  df-0r 7338  df-1r 7339  df-m1r 7340  df-c 7417  df-0 7418  df-1 7419  df-i 7420  df-add 7422  df-mul 7423
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator