Theorem axi2m1 8073

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8115. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	|- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7948	. . . . . 6 |- 0R e. R.
2		1sr 7949	. . . . . 6 |- 1R e. R.
3		mulcnsr 8033	. . . . . 6 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >. )
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 427	. . . . 5 |- ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >.
5		00sr 7967	. . . . . . . . 9 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
7		1idsr 7966	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 1R ) = 1R )
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 1R .R 1R ) = 1R
9	8	oveq2i 6018	. . . . . . . . 9 |- ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) = ( -1R .R 1R )
10		m1r 7950	. . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
11		1idsr 7966	. . . . . . . . . 10 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 1R ) = -1R )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -1R .R 1R ) = -1R
13	9, 12	eqtri 2250	. . . . . . . 8 |- ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) = -1R
14	6, 13	oveq12i 6019	. . . . . . 7 |- ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) = ( 0R +R -1R )
15		addcomsrg 7953	. . . . . . . 8 |- ( ( 0R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 0R +R -1R ) = ( -1R +R 0R ) )
16	1, 10, 15	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 0R +R -1R ) = ( -1R +R 0R )
17		0idsr 7965	. . . . . . . 8 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
18	10, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
19	14, 16, 18	3eqtri 2254	. . . . . 6 |- ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) = -1R
20		00sr 7967	. . . . . . . . 9 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
22		1idsr 7966	. . . . . . . . 9 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 1R ) = 0R )
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0R .R 1R ) = 0R
24	21, 23	oveq12i 6019	. . . . . . 7 |- ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) = ( 0R +R 0R )
25		0idsr 7965	. . . . . . . 8 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
27	24, 26	eqtri 2250	. . . . . 6 |- ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) = 0R
28	19, 27	opeq12i 3862	. . . . 5 |- <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >. = <. -1R , 0R >.
29	4, 28	eqtri 2250	. . . 4 |- ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. -1R , 0R >.
30	29	oveq1i 6017	. . 3 |- ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. ) = ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. )
31		addresr 8035	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( -1R +R 1R ) , 0R >. )
32	10, 2, 31	mp2an 426	. . 3 |- ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( -1R +R 1R ) , 0R >.
33		m1p1sr 7958	. . . 4 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
34	33	opeq1i 3860	. . 3 |- <. ( -1R +R 1R ) , 0R >. = <. 0R , 0R >.
35	30, 32, 34	3eqtri 2254	. 2 |- ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. ) = <. 0R , 0R >.
36		df-i 8019	. . . 4 |- _i = <. 0R , 1R >.
37	36, 36	oveq12i 6019	. . 3 |- ( _i x. _i ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. )
38		df-1 8018	. . 3 |- 1 = <. 1R , 0R >.
39	37, 38	oveq12i 6019	. 2 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. )
40		df-0 8017	. 2 |- 0 = <. 0R , 0R >.
41	35, 39, 40	3eqtr4i 2260	1 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669  (class class class)co 6007   R.cnr 7495   0Rc0r 7496   1Rc1r 7497   -1Rcm1r 7498   +R cplr 7499   .R cmr 7500   0cc0 8010   1c1 8011   _ici 8012   + caddc 8013   x. cmul 8015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-pli 7503  df-mi 7504  df-lti 7505  df-plpq 7542  df-mpq 7543  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-plqqs 7547  df-mqqs 7548  df-1nqqs 7549  df-rq 7550  df-ltnqqs 7551  df-enq0 7622  df-nq0 7623  df-0nq0 7624  df-plq0 7625  df-mq0 7626  df-inp 7664  df-i1p 7665  df-iplp 7666  df-imp 7667  df-enr 7924  df-nr 7925  df-plr 7926  df-mr 7927  df-0r 7929  df-1r 7930  df-m1r 7931  df-c 8016  df-0 8017  df-1 8018  df-i 8019  df-add 8021  df-mul 8022

This theorem is referenced by: (None)