Theorem axi2m1 7471

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 7511. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	|- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 7357	. . . . . 6 |- 0R e. R.
2		1sr 7358	. . . . . 6 |- 1R e. R.
3		mulcnsr 7433	. . . . . 6 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >. )
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 419	. . . . 5 |- ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >.
5		00sr 7376	. . . . . . . . 9 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
7		1idsr 7375	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 1R ) = 1R )
8	2, 7	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( 1R .R 1R ) = 1R
9	8	oveq2i 5677	. . . . . . . . 9 |- ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) = ( -1R .R 1R )
10		m1r 7359	. . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
11		1idsr 7375	. . . . . . . . . 10 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 1R ) = -1R )
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ( -1R .R 1R ) = -1R
13	9, 12	eqtri 2109	. . . . . . . 8 |- ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) = -1R
14	6, 13	oveq12i 5678	. . . . . . 7 |- ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) = ( 0R +R -1R )
15		addcomsrg 7362	. . . . . . . 8 |- ( ( 0R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 0R +R -1R ) = ( -1R +R 0R ) )
16	1, 10, 15	mp2an 418	. . . . . . 7 |- ( 0R +R -1R ) = ( -1R +R 0R )
17		0idsr 7374	. . . . . . . 8 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
18	10, 17	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
19	14, 16, 18	3eqtri 2113	. . . . . 6 |- ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) = -1R
20		00sr 7376	. . . . . . . . 9 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
21	2, 20	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
22		1idsr 7375	. . . . . . . . 9 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 1R ) = 0R )
23	1, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( 0R .R 1R ) = 0R
24	21, 23	oveq12i 5678	. . . . . . 7 |- ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) = ( 0R +R 0R )
25		0idsr 7374	. . . . . . . 8 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
26	1, 25	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
27	24, 26	eqtri 2109	. . . . . 6 |- ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) = 0R
28	19, 27	opeq12i 3633	. . . . 5 |- <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >. = <. -1R , 0R >.
29	4, 28	eqtri 2109	. . . 4 |- ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. -1R , 0R >.
30	29	oveq1i 5676	. . 3 |- ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. ) = ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. )
31		addresr 7435	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( -1R +R 1R ) , 0R >. )
32	10, 2, 31	mp2an 418	. . 3 |- ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( -1R +R 1R ) , 0R >.
33		m1p1sr 7367	. . . 4 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
34	33	opeq1i 3631	. . 3 |- <. ( -1R +R 1R ) , 0R >. = <. 0R , 0R >.
35	30, 32, 34	3eqtri 2113	. 2 |- ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. ) = <. 0R , 0R >.
36		df-i 7420	. . . 4 |- _i = <. 0R , 1R >.
37	36, 36	oveq12i 5678	. . 3 |- ( _i x. _i ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. )
38		df-1 7419	. . 3 |- 1 = <. 1R , 0R >.
39	37, 38	oveq12i 5678	. 2 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. )
40		df-0 7418	. 2 |- 0 = <. 0R , 0R >.
41	35, 39, 40	3eqtr4i 2119	1 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1290   e. wcel 1439   <.cop 3453  (class class class)co 5666   R.cnr 6917   0Rc0r 6918   1Rc1r 6919   -1Rcm1r 6920   +R cplr 6921   .R cmr 6922   0cc0 7411   1c1 7412   _ici 7413   + caddc 7414   x. cmul 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6924  df-pli 6925  df-mi 6926  df-lti 6927  df-plpq 6964  df-mpq 6965  df-enq 6967  df-nqqs 6968  df-plqqs 6969  df-mqqs 6970  df-1nqqs 6971  df-rq 6972  df-ltnqqs 6973  df-enq0 7044  df-nq0 7045  df-0nq0 7046  df-plq0 7047  df-mq0 7048  df-inp 7086  df-i1p 7087  df-iplp 7088  df-imp 7089  df-enr 7333  df-nr 7334  df-plr 7335  df-mr 7336  df-0r 7338  df-1r 7339  df-m1r 7340  df-c 7417  df-0 7418  df-1 7419  df-i 7420  df-add 7422  df-mul 7423

This theorem is referenced by: (None)