Theorem axi2m1 8190

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 8232. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	|- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 8065	. . . . . 6 |- 0R e. R.
2		1sr 8066	. . . . . 6 |- 1R e. R.
3		mulcnsr 8150	. . . . . 6 |- ( ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) /\ ( 0R e. R. /\ 1R e. R. ) ) -> ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >. )
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 427	. . . . 5 |- ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >.
5		00sr 8084	. . . . . . . . 9 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 0R ) = 0R )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0R .R 0R ) = 0R
7		1idsr 8083	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 1R ) = 1R )
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 1R .R 1R ) = 1R
9	8	oveq2i 6061	. . . . . . . . 9 |- ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) = ( -1R .R 1R )
10		m1r 8067	. . . . . . . . . 10 |- -1R e. R.
11		1idsr 8083	. . . . . . . . . 10 |- ( -1R e. R. -> ( -1R .R 1R ) = -1R )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( -1R .R 1R ) = -1R
13	9, 12	eqtri 2253	. . . . . . . 8 |- ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) = -1R
14	6, 13	oveq12i 6062	. . . . . . 7 |- ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) = ( 0R +R -1R )
15		addcomsrg 8070	. . . . . . . 8 |- ( ( 0R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 0R +R -1R ) = ( -1R +R 0R ) )
16	1, 10, 15	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 0R +R -1R ) = ( -1R +R 0R )
17		0idsr 8082	. . . . . . . 8 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
18	10, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
19	14, 16, 18	3eqtri 2257	. . . . . 6 |- ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) = -1R
20		00sr 8084	. . . . . . . . 9 |- ( 1R e. R. -> ( 1R .R 0R ) = 0R )
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1R .R 0R ) = 0R
22		1idsr 8083	. . . . . . . . 9 |- ( 0R e. R. -> ( 0R .R 1R ) = 0R )
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0R .R 1R ) = 0R
24	21, 23	oveq12i 6062	. . . . . . 7 |- ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) = ( 0R +R 0R )
25		0idsr 8082	. . . . . . . 8 |- ( 0R e. R. -> ( 0R +R 0R ) = 0R )
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0R +R 0R ) = 0R
27	24, 26	eqtri 2253	. . . . . 6 |- ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) = 0R
28	19, 27	opeq12i 3888	. . . . 5 |- <. ( ( 0R .R 0R ) +R ( -1R .R ( 1R .R 1R ) ) ) , ( ( 1R .R 0R ) +R ( 0R .R 1R ) ) >. = <. -1R , 0R >.
29	4, 28	eqtri 2253	. . . 4 |- ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) = <. -1R , 0R >.
30	29	oveq1i 6060	. . 3 |- ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. ) = ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. )
31		addresr 8152	. . . 4 |- ( ( -1R e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( -1R +R 1R ) , 0R >. )
32	10, 2, 31	mp2an 426	. . 3 |- ( <. -1R , 0R >. + <. 1R , 0R >. ) = <. ( -1R +R 1R ) , 0R >.
33		m1p1sr 8075	. . . 4 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
34	33	opeq1i 3886	. . 3 |- <. ( -1R +R 1R ) , 0R >. = <. 0R , 0R >.
35	30, 32, 34	3eqtri 2257	. 2 |- ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. ) = <. 0R , 0R >.
36		df-i 8136	. . . 4 |- _i = <. 0R , 1R >.
37	36, 36	oveq12i 6062	. . 3 |- ( _i x. _i ) = ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. )
38		df-1 8135	. . 3 |- 1 = <. 1R , 0R >.
39	37, 38	oveq12i 6062	. 2 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = ( ( <. 0R , 1R >. x. <. 0R , 1R >. ) + <. 1R , 0R >. )
40		df-0 8134	. 2 |- 0 = <. 0R , 0R >.
41	35, 39, 40	3eqtr4i 2263	1 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692  (class class class)co 6050   R.cnr 7612   0Rc0r 7613   1Rc1r 7614   -1Rcm1r 7615   +R cplr 7616   .R cmr 7617   0cc0 8127   1c1 8128   _ici 8129   + caddc 8130   x. cmul 8132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-i1p 7782  df-iplp 7783  df-imp 7784  df-enr 8041  df-nr 8042  df-plr 8043  df-mr 8044  df-0r 8046  df-1r 8047  df-m1r 8048  df-c 8133  df-0 8134  df-1 8135  df-i 8136  df-add 8138  df-mul 8139

This theorem is referenced by: (None)