Theorem ax0lt1 8096

Description: 0 is less than 1. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0lt1 8138.

The version of this axiom in the Metamath Proof Explorer reads 1 ≠ 0; here we change it to 0 <_ℝ 1. The proof of 0 <_ℝ 1 from 1 ≠ 0 in the Metamath Proof Explorer (accessed 12-Jan-2020) relies on real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax0lt1	⊢ 0 <ℝ 1

Proof of Theorem ax0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1sr 7985	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
2		ltresr 8059	. . 3 ⊢ (⟨0R, 0R⟩ <ℝ ⟨1R, 0R⟩ ↔ 0R <R 1R)
3	1, 2	mpbir 146	. 2 ⊢ ⟨0R, 0R⟩ <ℝ ⟨1R, 0R⟩
4		df-0 8039	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
5		df-1 8040	. 2 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
6	3, 4, 5	3brtr4i 4118	1 ⊢ 0 <ℝ 1

Syntax hints:  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  0_Rc0r 7518  1_Rc1r 7519   <_R cltr 7523  0cc0 8032  1c1 8033   <_ℝ cltrr 8036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-iltp 7690  df-enr 7946  df-nr 7947  df-ltr 7950  df-0r 7951  df-1r 7952  df-0 8039  df-1 8040  df-r 8042  df-lt 8045

This theorem is referenced by: (None)