Theorem ax0lt1 8237

Description: 0 is less than 1. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-0lt1 8279.

The version of this axiom in the Metamath Proof Explorer reads 1 ≠ 0; here we change it to 0 <_ℝ 1. The proof of 0 <_ℝ 1 from 1 ≠ 0 in the Metamath Proof Explorer (accessed 12-Jan-2020) relies on real number trichotomy. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax0lt1	⊢ 0 <ℝ 1

Proof of Theorem ax0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1sr 8126	. . 3 ⊢ 0R <R 1R
2		ltresr 8200	. . 3 ⊢ (⟨0R, 0R⟩ <ℝ ⟨1R, 0R⟩ ↔ 0R <R 1R)
3	1, 2	mpbir 146	. 2 ⊢ ⟨0R, 0R⟩ <ℝ ⟨1R, 0R⟩
4		df-0 8180	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
5		df-1 8181	. 2 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
6	3, 4, 5	3brtr4i 4158	1 ⊢ 0 <ℝ 1

Syntax hints:  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  0_Rc0r 7659  1_Rc1r 7660   <_R cltr 7664  0cc0 8173  1c1 8174   <_ℝ cltrr 8177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7705  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714  df-enq0 7785  df-nq0 7786  df-0nq0 7787  df-plq0 7788  df-mq0 7789  df-inp 7827  df-i1p 7828  df-iplp 7829  df-iltp 7831  df-enr 8087  df-nr 8088  df-ltr 8091  df-0r 8092  df-1r 8093  df-0 8180  df-1 8181  df-r 8183  df-lt 8186

This theorem is referenced by: (None)