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Description: A Cauchy sequence of
positive reals with a modulus of convergence
converges to a positive real. This is basically Corollary 11.2.13 of
[HoTT], p. (varies) (one key difference
being that this is for
positive reals rather than signed reals). Also, the HoTT book theorem
has a modulus of convergence (that is, a rate of convergence)
specified by (11.2.9) in HoTT whereas this theorem fixes the rate of
convergence to say that all terms after the nth term must be within
![]() ![]() ![]() ![]() This is similar to caucvgpr 7435 except that values of the sequence are positive reals rather than positive fractions. Reading that proof first (or cauappcvgpr 7415) might help in understanding this one, as they are slightly simpler but similarly structured. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2020.) |
Ref | Expression |
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caucvgprpr.f |
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caucvgprpr.cau |
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caucvgprpr.bnd |
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caucvgprpr |
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1 | caucvgprpr.f |
. . 3
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2 | caucvgprpr.cau |
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3 | caucvgprpr.bnd |
. . 3
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4 | eqid 2115 |
. . 3
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5 | 1, 2, 3, 4 | caucvgprprlemcl 7457 |
. 2
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6 | 1, 2, 3, 4 | caucvgprprlemlim 7464 |
. 2
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7 | oveq1 5735 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | breq2d 3907 |
. . . . . . 7
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9 | breq1 3898 |
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10 | 8, 9 | anbi12d 462 |
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11 | 10 | imbi2d 229 |
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-13 1474 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-coll 4003 ax-sep 4006 ax-nul 4014 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-un 4315 ax-setind 4412 ax-iinf 4462 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 946 df-3an 947 df-tru 1317 df-fal 1320 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ne 2283 df-ral 2395 df-rex 2396 df-reu 2397 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-csb 2972 df-dif 3039 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-nul 3330 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-int 3738 df-iun 3781 df-br 3896 df-opab 3950 df-mpt 3951 df-tr 3987 df-eprel 4171 df-id 4175 df-po 4178 df-iso 4179 df-iord 4248 df-on 4250 df-suc 4253 df-iom 4465 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-rn 4510 df-res 4511 df-ima 4512 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-f 5085 df-f1 5086 df-fo 5087 df-f1o 5088 df-fv 5089 df-ov 5731 df-oprab 5732 df-mpo 5733 df-1st 5992 df-2nd 5993 df-recs 6156 df-irdg 6221 df-1o 6267 df-2o 6268 df-oadd 6271 df-omul 6272 df-er 6383 df-ec 6385 df-qs 6389 df-ni 7057 df-pli 7058 df-mi 7059 df-lti 7060 df-plpq 7097 df-mpq 7098 df-enq 7100 df-nqqs 7101 df-plqqs 7102 df-mqqs 7103 df-1nqqs 7104 df-rq 7105 df-ltnqqs 7106 df-enq0 7177 df-nq0 7178 df-0nq0 7179 df-plq0 7180 df-mq0 7181 df-inp 7219 df-iplp 7221 df-iltp 7223 |
This theorem is referenced by: caucvgsrlemgt1 7534 |
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