Theorem caucvgsrlembnd 7949

Description: Lemma for caucvgsr 7950. A Cauchy sequence with a lower bound converges. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlembnd.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembnd	|- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   A, j, l, u, k   A, m, k   x, A, j, k, y   k, F, n   j, F, l, u   m, F   x, F, y   ph, k, n   ph, j, x   ph, m   n, l, u   m, n

Allowed substitution hints:   ph( y, u, l)

Proof of Theorem caucvgsrlembnd

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. 2 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2		caucvgsr.cau	. 2 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
3		caucvgsrlembnd.bnd	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
4		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( a = b -> ( F ` a ) = ( F ` b ) )
5	4	oveq1d 5982	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( F ` a ) +R 1R ) = ( ( F ` b ) +R 1R ) )
6	5	oveq1d 5982	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) = ( ( ( F ` b ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
7	6	cbvmptv 4156	. 2 |- ( a e. N. |-> ( ( ( F ` a ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) ) = ( b e. N. |-> ( ( ( F ` b ) +R 1R ) +R ( A .R -1R ) ) )
8	1, 2, 3, 7	caucvgsrlemoffres 7948	1 |- ( ph -> E. y e. R. A. x e. R. ( 0R <R x -> E. j e. N. A. k e. N. ( j <N k -> ( ( F ` k ) <R ( y +R x ) /\ y <R ( ( F ` k ) +R x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   <.cop 3646   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   1oc1o 6518   [cec 6641   N.cnpi 7420   <N clti 7423   ~Q ceq 7427   *Qcrq 7432   <Q cltq 7433   1Pc1p 7440   +P. cpp 7441   ~R cer 7444   R.cnr 7445   0Rc0r 7446   1Rc1r 7447   -1Rcm1r 7448   +R cplr 7449   .R cmr 7450   <R cltr 7451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501  df-enq0 7572  df-nq0 7573  df-0nq0 7574  df-plq0 7575  df-mq0 7576  df-inp 7614  df-i1p 7615  df-iplp 7616  df-imp 7617  df-iltp 7618  df-enr 7874  df-nr 7875  df-plr 7876  df-mr 7877  df-ltr 7878  df-0r 7879  df-1r 7880  df-m1r 7881

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7950