Theorem caucvgsrlembnd 8175

Description: Lemma for caucvgsr 8176. A Cauchy sequence with a lower bound converges. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembnd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐴,𝑗,𝑙,𝑢,𝑘   𝐴,𝑚,𝑘   𝑥,𝐴,𝑗,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝑗,𝐹,𝑙,𝑢   𝑚,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑘,𝑛   𝜑,𝑗,𝑥   𝜑,𝑚   𝑛,𝑙,𝑢   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑢, 𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembnd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2		caucvgsr.cau	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
3		caucvgsrlembnd.bnd	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
4		fveq2 5698	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
5	4	oveq1d 6103	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) = ((𝐹‘𝑏) +R 1R))
6	5	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹‘𝑏) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
7	6	cbvmptv 4229	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))) = (𝑏 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑏) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
8	1, 2, 3, 7	caucvgsrlemoffres 8174	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  {cab 2224  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1_oc1o 6684  [cec 6809  Ncnpi 7646   <_N clti 7649   ~_Q ceq 7653  *_Qcrq 7658   <_Q cltq 7659  1_Pc1p 7666   +_P cpp 7667   ~_R cer 7670  Rcnr 7671  0_Rc0r 7672  1_Rc1r 7673  -1_Rcm1r 7674   +_R cplr 7675   ·_R cmr 7676   <_R cltr 7677

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7678  df-pli 7679  df-mi 7680  df-lti 7681  df-plpq 7718  df-mpq 7719  df-enq 7721  df-nqqs 7722  df-plqqs 7723  df-mqqs 7724  df-1nqqs 7725  df-rq 7726  df-ltnqqs 7727  df-enq0 7798  df-nq0 7799  df-0nq0 7800  df-plq0 7801  df-mq0 7802  df-inp 7840  df-i1p 7841  df-iplp 7842  df-imp 7843  df-iltp 7844  df-enr 8100  df-nr 8101  df-plr 8102  df-mr 8103  df-ltr 8104  df-0r 8105  df-1r 8106  df-m1r 8107

This theorem is used by:  caucvgsr  8176