ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlembnd GIF version

Theorem caucvgsrlembnd 7763
Description: Lemma for caucvgsr 7764. A Cauchy sequence with a lower bound converges. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlembnd (𝜑 → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐴,𝑗,𝑙,𝑢,𝑘   𝐴,𝑚,𝑘   𝑥,𝐴,𝑗,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝑗,𝐹,𝑙,𝑢   𝑚,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑘,𝑛   𝜑,𝑗,𝑥   𝜑,𝑚   𝑛,𝑙,𝑢   𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembnd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . 2 (𝜑𝐹:NR)
2 caucvgsr.cau . 2 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
3 caucvgsrlembnd.bnd . 2 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
4 fveq2 5496 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
54oveq1d 5868 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹𝑎) +R 1R) = ((𝐹𝑏) +R 1R))
65oveq1d 5868 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹𝑏) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
76cbvmptv 4085 . 2 (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))) = (𝑏N ↦ (((𝐹𝑏) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
81, 2, 3, 7caucvgsrlemoffres 7762 1 (𝜑 → ∃𝑦R𝑥R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗N𝑘N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹𝑘) +R 𝑥)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  {cab 2156  wral 2448  wrex 2449  cop 3586   class class class wbr 3989  cmpt 4050  wf 5194  cfv 5198  (class class class)co 5853  1oc1o 6388  [cec 6511  Ncnpi 7234   <N clti 7237   ~Q ceq 7241  *Qcrq 7246   <Q cltq 7247  1Pc1p 7254   +P cpp 7255   ~R cer 7258  Rcnr 7259  0Rc0r 7260  1Rc1r 7261  -1Rcm1r 7262   +R cplr 7263   ·R cmr 7264   <R cltr 7265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-ltr 7692  df-0r 7693  df-1r 7694  df-m1r 7695
This theorem is referenced by:  caucvgsr  7764
  Copyright terms: Public domain W3C validator