Theorem caucvgsrlembnd 7863

Description: Lemma for caucvgsr 7864. A Cauchy sequence with a lower bound converges. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlembnd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐴,𝑗,𝑙,𝑢,𝑘   𝐴,𝑚,𝑘   𝑥,𝐴,𝑗,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝑗,𝐹,𝑙,𝑢   𝑚,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑘,𝑛   𝜑,𝑗,𝑥   𝜑,𝑚   𝑛,𝑙,𝑢   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑢,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlembnd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2		caucvgsr.cau	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
3		caucvgsrlembnd.bnd	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
4		fveq2 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
5	4	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) = ((𝐹‘𝑏) +R 1R))
6	5	oveq1d 5934	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹‘𝑏) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
7	6	cbvmptv 4126	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))) = (𝑏 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑏) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
8	1, 2, 3, 7	caucvgsrlemoffres 7862	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ R ∀𝑥 ∈ R (0R <R 𝑥 → ∃𝑗 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑗 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑘) <R (𝑦 +R 𝑥) ∧ 𝑦 <R ((𝐹‘𝑘) +R 𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  {cab 2179  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  1_oc1o 6464  [cec 6587  Ncnpi 7334   <_N clti 7337   ~_Q ceq 7341  *_Qcrq 7346   <_Q cltq 7347  1_Pc1p 7354   +_P cpp 7355   ~_R cer 7358  Rcnr 7359  0_Rc0r 7360  1_Rc1r 7361  -1_Rcm1r 7362   +_R cplr 7363   ·_R cmr 7364   <_R cltr 7365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489  df-mq0 7490  df-inp 7528  df-i1p 7529  df-iplp 7530  df-imp 7531  df-iltp 7532  df-enr 7788  df-nr 7789  df-plr 7790  df-mr 7791  df-ltr 7792  df-0r 7793  df-1r 7794  df-m1r 7795

This theorem is referenced by:  caucvgsr  7864