ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvmptcjx Unicode version

Theorem dvmptcjx 14079
Description: Function-builder for derivative, conjugate rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcj.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvmptcj.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
dvmptcj.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvmptcjx.x  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
Assertion
Ref Expression
dvmptcjx  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( * `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `  B ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, V    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem dvmptcjx
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvmptcj.a . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
21fmpttd 5671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
3 dvmptcjx.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  C_  RR )
4 dvcj 14066 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  /\  X  C_  RR )  ->  ( RR  _D  ( *  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( *  o.  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) ) )
52, 3, 4syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
*  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( *  o.  ( RR 
_D  ( x  e.  X  |->  A ) ) ) )
6 cjf 10851 . . . . 5  |-  * : CC --> CC
76a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  * : CC --> CC )
87, 1cofmpt 5685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( *  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `  A ) ) )
98oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
*  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  ( * `
 A ) ) ) )
10 reelprrecn 7945 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
12 dvmptcj.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  V )
13 dvmptcj.da . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
1411, 1, 12, 13, 3dvmptclx 14073 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  CC )
157feqmptd 5569 . . 3  |-  ( ph  ->  *  =  ( y  e.  CC  |->  ( * `
 y ) ) )
16 fveq2 5515 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
* `  y )  =  ( * `  B ) )
1714, 13, 15, 16fmptco 5682 . 2  |-  ( ph  ->  ( *  o.  ( RR  _D  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `
 B ) ) )
185, 9, 173eqtr3d 2218 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  X  |->  ( * `  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( * `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   {cpr 3593    |-> cmpt 4064    o. ccom 4630   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   *ccj 10843    _D cdv 14017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-ioo 9890  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-rest 12680  df-topgen 12699  df-psmet 13338  df-xmet 13339  df-met 13340  df-bl 13341  df-mopn 13342  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-ntr 13489  df-cn 13581  df-cnp 13582  df-cncf 13951  df-limced 14018  df-dvap 14019
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator