Theorem cjreim 11068

Description: The conjugate of a representation of a complex number in terms of real and imaginary parts. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cjreim	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐴 − (i · 𝐵)))

Proof of Theorem cjreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8012	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		ax-icn 7974	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 8012	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4		mulcl 8006	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6		cjadd 11049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))))
7	1, 5, 6	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))))
8		cjre 11047	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
9		cjmul 11050	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐵)))
10	2, 3, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐵)))
11		cji 11067	. . . . . 6 ⊢ (∗‘i) = -i
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘i) = -i)
13		cjre 11047	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘𝐵) = 𝐵)
14	12, 13	oveq12d 5940	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐵)) = (-i · 𝐵))
15		mulneg1 8421	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-i · 𝐵) = -(i · 𝐵))
16	2, 3, 15	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-i · 𝐵) = -(i · 𝐵))
17	10, 14, 16	3eqtrd 2233	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐵)) = -(i · 𝐵))
18	8, 17	oveqan12d 5941	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘(i · 𝐵))) = (𝐴 + -(i · 𝐵)))
19		negsub 8274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(i · 𝐵)) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
20	1, 5, 19	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -(i · 𝐵)) = (𝐴 − (i · 𝐵)))
21	7, 18, 20	3eqtrd 2233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (𝐴 − (i · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  ici 7881   + caddc 7882   · cmul 7884   − cmin 8197  -cneg 8198  ∗ccj 11004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-2 9049  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009

This theorem is referenced by:  cjreim2  11069  cjap  11071