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Theorem climcn1 10661
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn1.3 (𝜑𝐴𝐵)
climcn1.4 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
climcn1.5 (𝜑𝐺𝐴)
climcn1.6 (𝜑𝐻𝑊)
climcn1.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
climcn1.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
climcn1.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2 climcn1.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climcn1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 simpr 108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6 eqidd 2089 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
7 climcn1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐴)
87adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺𝐴)
92, 4, 5, 6, 8climi2 10640 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
102uztrn2 9005 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
11 climcn1.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
1211adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
13 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (𝑧𝐴) = ((𝐺𝑘) − 𝐴))
1413fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (abs‘(𝑧𝐴)) = (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)))
1514breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
16 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
1716oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) = ((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴)))
1817fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) = (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))))
1918breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2015, 19imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
2120rspcva 2720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2212, 21sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2322an32s 535 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2410, 23sylan2 280 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2524anassrs 392 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2625ralimdva 2441 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2726reximdva 2475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2827ex 113 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
299, 28mpid 41 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
3029rexlimdva 2489 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
3130adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
321, 31mpd 13 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)
3332ralrimiva 2446 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)
34 climcn1.6 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
35 climcn1.9 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
36 fveq2 5289 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝐴))
3736eleq1d 2156 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℂ))
38 climcn1.4 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3938ralrimiva 2446 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
40 climcn1.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
4137, 39, 40rspcdva 2727 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
4216eleq1d 2156 . . . 4 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ ℂ))
4339adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑧𝐵 (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4442, 43, 11rspcdva 2727 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
452, 3, 34, 35, 41, 44clim2c 10636 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
4633, 45mpbird 165 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327   < clt 7501  cmin 7632  cz 8720  cuz 8988  +crp 9103  abscabs 10395  cli 10630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-clim 10631
This theorem is referenced by:  climcn1lem  10671
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