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Theorem climcn1 11315
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn1.3 (𝜑𝐴𝐵)
climcn1.4 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
climcn1.5 (𝜑𝐺𝐴)
climcn1.6 (𝜑𝐻𝑊)
climcn1.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
climcn1.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
climcn1.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2 climcn1.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climcn1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6 eqidd 2178 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
7 climcn1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐴)
87adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺𝐴)
92, 4, 5, 6, 8climi2 11295 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
102uztrn2 9544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
11 climcn1.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
1211adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
13 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (𝑧𝐴) = ((𝐺𝑘) − 𝐴))
1413fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (abs‘(𝑧𝐴)) = (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)))
1514breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
16 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
1716oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) = ((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴)))
1817fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) = (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))))
1918breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2015, 19imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
2120rspcva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2212, 21sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2322an32s 568 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2410, 23sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2524anassrs 400 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2625ralimdva 2544 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2726reximdva 2579 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2827ex 115 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
299, 28mpid 42 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
3029rexlimdva 2594 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
3130adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
321, 31mpd 13 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)
3332ralrimiva 2550 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)
34 climcn1.6 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
35 climcn1.9 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
36 fveq2 5515 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝐴))
3736eleq1d 2246 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℂ))
38 climcn1.4 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3938ralrimiva 2550 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
40 climcn1.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
4137, 39, 40rspcdva 2846 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
4216eleq1d 2246 . . . 4 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ ℂ))
4339adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑧𝐵 (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4442, 43, 11rspcdva 2846 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
452, 3, 34, 35, 41, 44clim2c 11291 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
4633, 45mpbird 167 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808   < clt 7991  cmin 8127  cz 9252  cuz 9527  +crp 9652  abscabs 11005  cli 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-clim 11286
This theorem is referenced by:  climcn1lem  11326  climcncf  14041
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