ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvg1n GIF version

Theorem cvg1n 10415
Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 10410 with a constant multiplier 𝐶 on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
cvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
cvg1n (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝐶,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝑖,𝐹,𝑗   𝜑,𝑘,𝑛,𝑗   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑗   𝑗,𝑛   𝑦,𝑘,𝑗,𝑖

Proof of Theorem cvg1n
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvg1n.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
21rpred 9171 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 arch 8668 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐶 < 𝑧)
42, 3syl 14 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐶 < 𝑧)
5 cvg1n.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
65adantr 270 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
71adantr 270 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
8 cvg1n.cau . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
98adantr 270 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
10 eqid 2088 . . 3 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑧))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑧)))
11 simprl 498 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℕ)
12 simprr 499 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐶 < 𝑧)
136, 7, 9, 10, 11, 12cvg1nlemres 10414 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
144, 13rexlimddv 2493 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹𝑖) + 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360   class class class wbr 3845  cmpt 3899  wf 5011  cfv 5015  (class class class)co 5652  cr 7347   + caddc 7351   · cmul 7353   < clt 7520   / cdiv 8137  cn 8420  cuz 9017  +crp 9132
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-rp 9133
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  10448  climrecvg1n  10733
  Copyright terms: Public domain W3C validator