Theorem cvg1n 11774

Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 11769 with a constant multiplier 𝐶 on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
cvg1n	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝐶,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝑖,𝐹,𝑗   𝜑,𝑘,𝑛,𝑗   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑗   𝑗,𝑛   𝑦,𝑘,𝑗,𝑖

Proof of Theorem cvg1n

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 10114	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		arch 9571	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐶 < 𝑧)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐶 < 𝑧)
5		cvg1n.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
8		cvg1n.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
10		eqid 2238	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑧))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑧)))
11		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℕ)
12		simprr 537	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐶 < 𝑧)
13	6, 7, 9, 10, 11, 12	cvg1nlemres 11773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
14	4, 13	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   / cdiv 9010  ℕcn 9313  ℤ_≥cuz 9937  ℝ⁺crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072

This theorem is used by:  resqrexlemcvg  11807  climrecvg1n  12139