Theorem cvg1n 11492

Description: Convergence of real sequences.

This is a version of caucvgre 11487 with a constant multiplier 𝐶 on the rate of convergence. That is, all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
cvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
cvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
cvg1n	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝐶,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝑖,𝐹,𝑗   𝜑,𝑘,𝑛,𝑗   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑗   𝑗,𝑛   𝑦,𝑘,𝑗,𝑖

Proof of Theorem cvg1n

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvg1n.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9888	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		arch 9362	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐶 < 𝑧)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐶 < 𝑧)
5		cvg1n.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
7	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
8		cvg1n.cau	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑛) < ((𝐹‘𝑘) + (𝐶 / 𝑛)) ∧ (𝐹‘𝑘) < ((𝐹‘𝑛) + (𝐶 / 𝑛))))
10		eqid 2229	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑧))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝑗 · 𝑧)))
11		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℕ)
12		simprr 531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → 𝐶 < 𝑧)
13	6, 7, 9, 10, 11, 12	cvg1nlemres 11491	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝐶 < 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))
14	4, 13	rexlimddv 2653	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝑦 + 𝑥) ∧ 𝑦 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   class class class wbr 4082   ↦ cmpt 4144  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℝcr 7994   + caddc 7998   · cmul 8000   < clt 8177   / cdiv 8815  ℕcn 9106  ℤ_≥cuz 9718  ℝ⁺crp 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11525  climrecvg1n  11854