Theorem adddivflid 10656

Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
adddivflid	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Proof of Theorem adddivflid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
2		nn0z 9599	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> B e. ZZ )
3		znq 9959	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
5	4	3adant1 1042	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
6	1, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) )
7		flqbi2 10655	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
9		nn0re 9507	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> B e. RR )
10		nn0ge0 9523	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> 0 <_ B )
11	9, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
12		nnre 9246	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. RR )
13		nngt0 9264	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> 0 < C )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
15	11, 14	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
16	15	3adant1 1042	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
17		divge0 9149	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B / C ) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> 0 <_ ( B / C ) )
19	18	biantrurd 305	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
20		nnrp 9999	. . . . 5 |- ( C e. NN -> C e. RR+ )
21	9, 20	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
22	21	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
23		divlt1lt 10060	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR+ ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
25	8, 19, 24	3bitr2rd 217	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310   <_ cle 8311   / cdiv 8948   NNcn 9239   NN0cn0 9498   ZZcz 9579   QQcq 9954   RR+crp 9989   |_cfl 10632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-q 9955  df-rp 9990  df-fl 10634

This theorem is referenced by:  2lgslem3a  15983  2lgslem3b  15984  2lgslem3c  15985  2lgslem3d  15986