ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  adddivflid Unicode version

Theorem adddivflid 9951
Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
adddivflid  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  <  C  <->  ( |_ `  ( A  +  ( B  /  C ) ) )  =  A ) )

Proof of Theorem adddivflid
StepHypRef Expression
1 simp1 962 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
2 nn0z 8971 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  ZZ )
3 znq 9311 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  C
)  e.  QQ )
42, 3sylan 279 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  C
)  e.  QQ )
543adant1 980 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  C )  e.  QQ )
61, 5jca 302 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  /  C )  e.  QQ ) )
7 flqbi2 9950 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  /  C
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( A  +  ( B  /  C
) ) )  =  A  <->  ( 0  <_ 
( B  /  C
)  /\  ( B  /  C )  <  1
) ) )
86, 7syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  (
( |_ `  ( A  +  ( B  /  C ) ) )  =  A  <->  ( 0  <_  ( B  /  C )  /\  ( B  /  C )  <  1 ) ) )
9 nn0re 8883 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
10 nn0ge0 8899 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  0  <_  B )
119, 10jca 302 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
12 nnre 8630 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
13 nngt0 8648 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
1412, 13jca 302 . . . . . 6  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1511, 14anim12i 334 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) ) )
16153adant1 980 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) ) )
17 divge0 8534 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  0  <_  ( B  /  C ) )
1816, 17syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( B  /  C
) )
1918biantrurd 301 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  /  C
)  <  1  <->  ( 0  <_  ( B  /  C )  /\  ( B  /  C )  <  1 ) ) )
20 nnrp 9345 . . . . 5  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR+ )
219, 20anim12i 334 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR+ )
)
22213adant1 980 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR+ ) )
23 divlt1lt 9403 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR+ )  -> 
( ( B  /  C )  <  1  <->  B  <  C ) )
2422, 23syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  /  C
)  <  1  <->  B  <  C ) )
258, 19, 243bitr2rd 216 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  <  C  <->  ( |_ `  ( A  +  ( B  /  C ) ) )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 943    = wceq 1312    e. wcel 1461   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   RRcr 7539   0cc0 7540   1c1 7541    + caddc 7543    < clt 7717    <_ cle 7718    / cdiv 8338   NNcn 8623   NN0cn0 8874   ZZcz 8951   QQcq 9306   RR+crp 9336   |_cfl 9927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656  ax-arch 7657
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-q 9307  df-rp 9337  df-fl 9929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator