Theorem adddivflid 10325

Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
adddivflid	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Proof of Theorem adddivflid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
2		nn0z 9304	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> B e. ZZ )
3		znq 9656	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
5	4	3adant1 1017	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
6	1, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) )
7		flqbi2 10324	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
9		nn0re 9216	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> B e. RR )
10		nn0ge0 9232	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> 0 <_ B )
11	9, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
12		nnre 8957	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. RR )
13		nngt0 8975	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> 0 < C )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
15	11, 14	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
16	15	3adant1 1017	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
17		divge0 8861	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B / C ) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> 0 <_ ( B / C ) )
19	18	biantrurd 305	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
20		nnrp 9695	. . . . 5 |- ( C e. NN -> C e. RR+ )
21	9, 20	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
22	21	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
23		divlt1lt 9756	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR+ ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
25	8, 19, 24	3bitr2rd 217	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   + caddc 7845   < clt 8023   <_ cle 8024   / cdiv 8660   NNcn 8950   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   QQcq 9651   RR+crp 9685   |_cfl 10301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-q 9652  df-rp 9686  df-fl 10303

This theorem is referenced by: (None)