Theorem adddivflid 10708

Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
adddivflid	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Proof of Theorem adddivflid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
2		nn0z 9646	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> B e. ZZ )
3		znq 10006	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
5	4	3adant1 1046	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
6	1, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) )
7		flqbi2 10707	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
9		nn0re 9554	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> B e. RR )
10		nn0ge0 9570	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> 0 <_ B )
11	9, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
12		nnre 9293	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. RR )
13		nngt0 9311	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> 0 < C )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
15	11, 14	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
16	15	3adant1 1046	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
17		divge0 9196	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B / C ) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> 0 <_ ( B / C ) )
19	18	biantrurd 305	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
20		nnrp 10046	. . . . 5 |- ( C e. NN -> C e. RR+ )
21	9, 20	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
22	21	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
23		divlt1lt 10107	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR+ ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
25	8, 19, 24	3bitr2rd 217	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   RRcr 8171   0cc0 8172   1c1 8173   + caddc 8175   < clt 8353   <_ cle 8354   / cdiv 8995   NNcn 9286   NN0cn0 9545   ZZcz 9626   QQcq 10001   RR+crp 10036   |_cfl 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290  ax-arch 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-q 10002  df-rp 10037  df-fl 10686

This theorem is referenced by:  2lgslem3a  16129  2lgslem3b  16130  2lgslem3c  16131  2lgslem3d  16132