Theorem adddivflid 10512

Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
adddivflid	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Proof of Theorem adddivflid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
2		nn0z 9466	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> B e. ZZ )
3		znq 9819	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
5	4	3adant1 1039	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
6	1, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) )
7		flqbi2 10511	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
9		nn0re 9378	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> B e. RR )
10		nn0ge0 9394	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> 0 <_ B )
11	9, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
12		nnre 9117	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. RR )
13		nngt0 9135	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> 0 < C )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
15	11, 14	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
16	15	3adant1 1039	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
17		divge0 9020	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B / C ) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> 0 <_ ( B / C ) )
19	18	biantrurd 305	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
20		nnrp 9859	. . . . 5 |- ( C e. NN -> C e. RR+ )
21	9, 20	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
22	21	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
23		divlt1lt 9920	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR+ ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
25	8, 19, 24	3bitr2rd 217	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   / cdiv 8819   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   QQcq 9814   RR+crp 9849   |_cfl 10488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-q 9815  df-rp 9850  df-fl 10490

This theorem is referenced by:  2lgslem3a  15772  2lgslem3b  15773  2lgslem3c  15774  2lgslem3d  15775