Theorem adddivflid 10294

Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
adddivflid	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Proof of Theorem adddivflid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
2		nn0z 9275	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> B e. ZZ )
3		znq 9626	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
5	4	3adant1 1015	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. QQ )
6	1, 5	jca 306	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) )
7		flqbi2 10293	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B / C ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
9		nn0re 9187	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> B e. RR )
10		nn0ge0 9203	. . . . . . 7 |- ( B e. NN0 -> 0 <_ B )
11	9, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( B e. NN0 -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
12		nnre 8928	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. RR )
13		nngt0 8946	. . . . . . 7 |- ( C e. NN -> 0 < C )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
15	11, 14	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
16	15	3adant1 1015	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) )
17		divge0 8832	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B / C ) )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> 0 <_ ( B / C ) )
19	18	biantrurd 305	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> ( 0 <_ ( B / C ) /\ ( B / C ) < 1 ) ) )
20		nnrp 9665	. . . . 5 |- ( C e. NN -> C e. RR+ )
21	9, 20	anim12i 338	. . . 4 |- ( ( B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
22	21	3adant1 1015	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B e. RR /\ C e. RR+ ) )
23		divlt1lt 9726	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR+ ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
24	22, 23	syl 14	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( ( B / C ) < 1 <-> B < C ) )
25	8, 19, 24	3bitr2rd 217	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN0 /\ C e. NN ) -> ( B < C <-> ( |_ ` ( A + ( B / C ) ) ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   <_ cle 7995   / cdiv 8631   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   QQcq 9621   RR+crp 9655   |_cfl 10270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272

This theorem is referenced by: (None)