Theorem divfl0 10100

Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divfl0	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Proof of Theorem divfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9098	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
2		znq 9443	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
3	1, 2	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
4		qcn 9453	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
5		addid2 7925	. . . . . 6 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
6	5	eqcomd 2146	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
8	7	fveq2d 5433	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) )
9	8	eqeq1d 2149	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 <-> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 ) )
10		0z 9089	. . 3 |- 0 e. ZZ
11		flqbi2 10095	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
12	10, 3, 11	sylancr 411	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
13		nn0ge0div 9162	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A / B ) )
14	13	biantrurd 303	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
15		nn0re 9010	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
16		nnrp 9480	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
17		divlt1lt 9541	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
18	15, 16, 17	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
19	14, 18	bitr3d 189	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) <-> A < B ) )
20	9, 12, 19	3bitrrd 214	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   / cdiv 8456   NNcn 8744   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   QQcq 9438   RR+crp 9470   |_cfl 10072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10109