ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divfl0 Unicode version

Theorem divfl0 10083
Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
divfl0  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  0 ) )

Proof of Theorem divfl0
StepHypRef Expression
1 nn0z 9088 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
2 znq 9430 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
31, 2sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  QQ )
4 qcn 9440 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  QQ  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
5 addid2 7915 . . . . . 6  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  (
0  +  ( A  /  B ) )  =  ( A  /  B ) )
65eqcomd 2145 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  CC  ->  ( A  /  B )  =  ( 0  +  ( A  /  B ) ) )
73, 4, 63syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  =  ( 0  +  ( A  /  B ) ) )
87fveq2d 5425 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B ) ) ) )
98eqeq1d 2148 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( A  /  B
) )  =  0  <-> 
( |_ `  (
0  +  ( A  /  B ) ) )  =  0 ) )
10 0z 9079 . . 3  |-  0  e.  ZZ
11 flqbi2 10078 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( A  /  B
)  e.  QQ )  ->  ( ( |_
`  ( 0  +  ( A  /  B
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( A  /  B
)  /\  ( A  /  B )  <  1
) ) )
1210, 3, 11sylancr 410 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( 0  +  ( A  /  B ) ) )  =  0  <-> 
( 0  <_  ( A  /  B )  /\  ( A  /  B
)  <  1 ) ) )
13 nn0ge0div 9152 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  /  B ) )
1413biantrurd 303 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  <  1  <->  ( 0  <_  ( A  /  B )  /\  ( A  /  B )  <  1 ) ) )
15 nn0re 9000 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
16 nnrp 9465 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
17 divlt1lt 9525 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <  1  <->  A  <  B ) )
1815, 16, 17syl2an 287 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  <  1  <->  A  <  B ) )
1914, 18bitr3d 189 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( 0  <_ 
( A  /  B
)  /\  ( A  /  B )  <  1
)  <->  A  <  B ) )
209, 12, 193bitrrd 214 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7632   RRcr 7633   0cc0 7634   1c1 7635    + caddc 7637    < clt 7814    <_ cle 7815    / cdiv 8446   NNcn 8734   NN0cn0 8991   ZZcz 9068   QQcq 9425   RR+crp 9455   |_cfl 10055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-q 9426  df-rp 9456  df-fl 10057
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10092
  Copyright terms: Public domain W3C validator