Theorem divfl0 10546

Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divfl0	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Proof of Theorem divfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9489	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
2		znq 9848	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
3	1, 2	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
4		qcn 9858	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
5		addlid 8308	. . . . . 6 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
6	5	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
8	7	fveq2d 5639	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) )
9	8	eqeq1d 2238	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 <-> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 ) )
10		0z 9480	. . 3 |- 0 e. ZZ
11		flqbi2 10541	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
12	10, 3, 11	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
13		nn0ge0div 9557	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A / B ) )
14	13	biantrurd 305	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
15		nn0re 9401	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
16		nnrp 9888	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
17		divlt1lt 9949	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
18	15, 16, 17	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
19	14, 18	bitr3d 190	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) <-> A < B ) )
20	9, 12, 19	3bitrrd 215	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204   <_ cle 8205   / cdiv 8842   NNcn 9133   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   QQcq 9843   RR+crp 9878   |_cfl 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10555  fldiv4lem1div2  10557  gausslemma2dlem4  15783