Theorem divfl0 10231

Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divfl0	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Proof of Theorem divfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9211	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
2		znq 9562	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
3	1, 2	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
4		qcn 9572	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
5		addid2 8037	. . . . . 6 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
6	5	eqcomd 2171	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
8	7	fveq2d 5490	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) )
9	8	eqeq1d 2174	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 <-> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 ) )
10		0z 9202	. . 3 |- 0 e. ZZ
11		flqbi2 10226	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
12	10, 3, 11	sylancr 411	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
13		nn0ge0div 9278	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A / B ) )
14	13	biantrurd 303	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
15		nn0re 9123	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
16		nnrp 9599	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
17		divlt1lt 9660	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
18	15, 16, 17	syl2an 287	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
19	14, 18	bitr3d 189	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) <-> A < B ) )
20	9, 12, 19	3bitrrd 214	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   / cdiv 8568   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   QQcq 9557   RR+crp 9589   |_cfl 10203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10240