Theorem divfl0 10511

Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divfl0	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Proof of Theorem divfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9462	. . . . . 6 |- ( A e. NN0 -> A e. ZZ )
2		znq 9815	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
3	1, 2	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) e. QQ )
4		qcn 9825	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
5		addlid 8281	. . . . . 6 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
6	5	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) = ( 0 + ( A / B ) ) )
8	7	fveq2d 5630	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) )
9	8	eqeq1d 2238	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 <-> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 ) )
10		0z 9453	. . 3 |- 0 e. ZZ
11		flqbi2 10506	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
12	10, 3, 11	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
13		nn0ge0div 9530	. . . 4 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> 0 <_ ( A / B ) )
14	13	biantrurd 305	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
15		nn0re 9374	. . . 4 |- ( A e. NN0 -> A e. RR )
16		nnrp 9855	. . . 4 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
17		divlt1lt 9916	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
18	15, 16, 17	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < B ) )
19	14, 18	bitr3d 190	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) <-> A < B ) )
20	9, 12, 19	3bitrrd 215	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   <_ cle 8178   / cdiv 8815   NNcn 9106   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   QQcq 9810   RR+crp 9845   |_cfl 10483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-q 9811  df-rp 9846  df-fl 10485

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10520  fldiv4lem1div2  10522  gausslemma2dlem4  15737