Theorem structgrssiedg 16038

Description: The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtx.g	|- ( ph -> G Struct X )
structgrssvtx.v	|- ( ph -> V e. Y )
structgrssvtx.e	|- ( ph -> E e. Z )
structgrssvtx.s	|- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )

Assertion

Ref	Expression
structgrssiedg	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = E )

Proof of Theorem structgrssiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtx.g	. 2 |- ( ph -> G Struct X )
2		structgrssvtx.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Y )
3		structgrssvtx.e	. . 3 |- ( ph -> E e. Z )
4		structgrssvtx.s	. . 3 |- ( ph -> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G )
5	1, 2, 3, 4	structgr2slots2dom 16036	. 2 |- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
6		basendxnn 13268	. . . . . 6 |- ( Base ` ndx ) e. NN
7		opexg 4344	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ V e. Y ) -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
8	6, 2, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V )
9		edgfndxnn 16003	. . . . . 6 |- (.ef ` ndx ) e. NN
10		opexg 4344	. . . . . 6 |- ( ( (.ef ` ndx ) e. NN /\ E e. Z ) -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V )
11	9, 3, 10	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V )
12		prssg 3851	. . . . 5 |- ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. _V /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. _V ) -> ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) <-> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G ) )
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) <-> { <. ( Base ` ndx ) , V >. , <. (.ef ` ndx ) , E >. } C_ G ) )
14	4, 13	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G /\ <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G ) )
15	14	simprd 114	. 2 |- ( ph -> <. (.ef ` ndx ) , E >. e. G )
16	1, 5, 3, 15	edgfiedgval2dom 16030	1 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   {cpr 3690   <.cop 3692   class class class wbr 4109   ` cfv 5352   NNcn 9237   Struct cstr 13208   ndxcnx 13209   Basecbs 13212  .efcedgf 15999  iEdgciedg 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-2o 6648  df-en 6976  df-dom 6977  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-iedg 16010

This theorem is referenced by:  struct2griedg  16041