Theorem edgfiedgval2dom 15574

Description: The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with the indexed edges in the slot for edge functions. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
basvtxval2dom.d	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
edgfiedgval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
edgfiedgval.f	⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgfiedgval2dom	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)

Proof of Theorem edgfiedgval2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structex 12786	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		structn0fun 12787	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
5	1, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6		basvtxval2dom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
7		funiedgdm2domval 15569	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
9		edgfid 15547	. . . 4 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
10		edgfndxnn 15549	. . . 4 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
11	9, 10	ndxslid 12799	. . 3 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
12		edgfiedgval.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
13		edgfiedgval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)
14	11, 1, 12, 13	opelstrsl 12888	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (.ef‘𝐺))
15	8, 14	eqtr4d 2240	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∖ cdif 3162  ∅c0 3459  {csn 3632  ⟨cop 3635   class class class wbr 4043  dom cdm 4674  Fun wfun 5264  ‘cfv 5270  2_oc2o 6495   ≼ cdom 6825   Struct cstr 12770  ndxcnx 12771  .efcedgf 15545  iEdgciedg 15554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-suc 4417  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-2nd 6226  df-1o 6501  df-2o 6502  df-dom 6828  df-sub 8244  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-dec 9504  df-struct 12776  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-edgf 15546  df-iedg 15556

This theorem is referenced by:  structgrssiedg  15582