Theorem edgfiedgval2dom 15885

Description: The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with the indexed edges in the slot for edge functions. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
basvtxval2dom.d	⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
edgfiedgval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
edgfiedgval.f	⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgfiedgval2dom	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)

Proof of Theorem edgfiedgval2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structex 13093	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
4		structn0fun 13094	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
5	1, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
6		basvtxval2dom.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≼ dom 𝐺)
7		funiedgdm2domval 15880	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
9		edgfid 15856	. . . 4 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
10		edgfndxnn 15858	. . . 4 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
11	9, 10	ndxslid 13106	. . 3 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
12		edgfiedgval.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
13		edgfiedgval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)
14	11, 1, 12, 13	opelstrsl 13196	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (.ef‘𝐺))
15	8, 14	eqtr4d 2267	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∖ cdif 3197  ∅c0 3494  {csn 3669  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  2_oc2o 6575   ≼ cdom 6907   Struct cstr 13077  ndxcnx 13078  .efcedgf 15854  iEdgciedg 15863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-dom 6910  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-edgf 15855  df-iedg 15865

This theorem is referenced by:  structgrssiedg  15893