Theorem uzm1 9110

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9092	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2		eluzel2 9085	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	2	zred 8929	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
4		eluzelz 9089	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	4	zred 8929	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
6	3, 5	lenltd 7662	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
7	1, 6	mpbid 146	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N < M )
8		ztri3or 8854	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
9	2, 4, 8	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
10		df-3or 926	. . . . 5 |- ( ( M < N \/ M = N \/ N < M ) <-> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
12	7, 11	ecased 1286	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N ) )
13	12	orcomd 684	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N \/ M < N ) )
14		eqcom 2091	. . . . 5 |- ( M = N <-> N = M )
15	14	biimpi 119	. . . 4 |- ( M = N -> N = M )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N -> N = M ) )
17		zltlem1 8868	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
18	2, 4, 17	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
19		1zzd 8838	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. ZZ )
20	4, 19	zsubcld 8934	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
21		eluz 9093	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
22	2, 20, 21	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
23	18, 22	bitr4d 190	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
24	23	biimpd 143	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	16, 24	orim12d 736	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M = N \/ M < N ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
26	13, 25	mpd 13	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 665   \/ w3o 924   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1c1 7412   < clt 7583   <_ cle 7584   - cmin 7714   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081

This theorem is referenced by:  uzp1  9113  fzm1  9575  hashfzo  10291  iserex  10788