Theorem uzm1 9871

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9852	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2		eluzel2 9844	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	2	zred 9686	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
4		eluzelz 9849	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	4	zred 9686	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
6	3, 5	lenltd 8379	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
7	1, 6	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N < M )
8		ztri3or 9606	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
9	2, 4, 8	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
10		df-3or 1006	. . . . 5 |- ( ( M < N \/ M = N \/ N < M ) <-> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
12	7, 11	ecased 1386	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N ) )
13	12	orcomd 737	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N \/ M < N ) )
14		eqcom 2234	. . . . 5 |- ( M = N <-> N = M )
15	14	biimpi 120	. . . 4 |- ( M = N -> N = M )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N -> N = M ) )
17		zltlem1 9621	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
18	2, 4, 17	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
19		1zzd 9590	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. ZZ )
20	4, 19	zsubcld 9691	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
21		eluz 9853	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
22	2, 20, 21	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
23	18, 22	bitr4d 191	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
24	23	biimpd 144	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	16, 24	orim12d 794	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M = N \/ M < N ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
26	13, 25	mpd 13	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4102   ` cfv 5343  (class class class)co 6041   1c1 8116   < clt 8296   <_ cle 8297   - cmin 8432   ZZcz 9563   ZZ>=cuz 9839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-inn 9226  df-n0 9485  df-z 9564  df-uz 9840

This theorem is referenced by:  uzp1  9874  fzm1  10420  hashfzo  11172  iserex  12002  ntrivcvgap  12212