ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzm1 Unicode version

Theorem uzm1 9148
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzle 9130 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
2 eluzel2 9123 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
32zred 8967 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
4 eluzelz 9127 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
54zred 8967 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
63, 5lenltd 7698 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
71, 6mpbid 146 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  N  <  M )
8 ztri3or 8891 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
92, 4, 8syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  < 
M ) )
10 df-3or 928 . . . . 5  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( ( M  <  N  \/  M  =  N )  \/  N  <  M ) )
119, 10sylib 121 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  <  N  \/  M  =  N )  \/  N  <  M ) )
127, 11ecased 1292 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N ) )
1312orcomd 686 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  =  N  \/  M  <  N ) )
14 eqcom 2097 . . . . 5  |-  ( M  =  N  <->  N  =  M )
1514biimpi 119 . . . 4  |-  ( M  =  N  ->  N  =  M )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  =  N  ->  N  =  M ) )
17 zltlem1 8905 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
182, 4, 17syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
19 1zzd 8875 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  1  e.  ZZ )
204, 19zsubcld 8972 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
21 eluz 9131 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
222, 20, 21syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
2318, 22bitr4d 190 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  <->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
2423biimpd 143 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
2516, 24orim12d 738 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  =  N  \/  M  <  N )  -> 
( N  =  M  \/  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) ) ) )
2613, 25mpd 13 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 667    \/ w3o 926    = wceq 1296    e. wcel 1445   class class class wbr 3867   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   1c1 7448    < clt 7619    <_ cle 7620    - cmin 7750   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119
This theorem is referenced by:  uzp1  9151  fzm1  9663  hashfzo  10361  iserex  10897
  Copyright terms: Public domain W3C validator