Theorem uzm1 9953

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9934	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2		eluzel2 9926	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	2	zred 9768	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
4		eluzelz 9931	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	4	zred 9768	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
6	3, 5	lenltd 8444	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
7	1, 6	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N < M )
8		ztri3or 9687	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
9	2, 4, 8	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
10		df-3or 1010	. . . . 5 |- ( ( M < N \/ M = N \/ N < M ) <-> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
12	7, 11	ecased 1390	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N ) )
13	12	orcomd 741	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N \/ M < N ) )
14		eqcom 2240	. . . . 5 |- ( M = N <-> N = M )
15	14	biimpi 120	. . . 4 |- ( M = N -> N = M )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N -> N = M ) )
17		zltlem1 9702	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
18	2, 4, 17	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
19		1zzd 9671	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. ZZ )
20	4, 19	zsubcld 9773	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
21		eluz 9935	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
22	2, 20, 21	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
23	18, 22	bitr4d 191	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
24	23	biimpd 144	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	16, 24	orim12d 798	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M = N \/ M < N ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
26	13, 25	mpd 13	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  uzp1  9956  fzm1  10507  hashfzo  11263  iserex  12105  ntrivcvgap  12315