Theorem uzm1 9496

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9478	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2		eluzel2 9471	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	2	zred 9313	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
4		eluzelz 9475	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	4	zred 9313	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
6	3, 5	lenltd 8016	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
7	1, 6	mpbid 146	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N < M )
8		ztri3or 9234	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
9	2, 4, 8	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
10		df-3or 969	. . . . 5 |- ( ( M < N \/ M = N \/ N < M ) <-> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
12	7, 11	ecased 1339	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N ) )
13	12	orcomd 719	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N \/ M < N ) )
14		eqcom 2167	. . . . 5 |- ( M = N <-> N = M )
15	14	biimpi 119	. . . 4 |- ( M = N -> N = M )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N -> N = M ) )
17		zltlem1 9248	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
18	2, 4, 17	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
19		1zzd 9218	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. ZZ )
20	4, 19	zsubcld 9318	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
21		eluz 9479	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
22	2, 20, 21	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
23	18, 22	bitr4d 190	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
24	23	biimpd 143	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	16, 24	orim12d 776	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M = N \/ M < N ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
26	13, 25	mpd 13	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1c1 7754   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  uzp1  9499  fzm1  10035  hashfzo  10735  iserex  11280  ntrivcvgap  11489