Theorem uzm1 9935

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9916	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2		eluzel2 9908	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	2	zred 9750	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. RR )
4		eluzelz 9913	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
5	4	zred 9750	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )
6	3, 5	lenltd 8437	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
7	1, 6	mpbid 147	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -. N < M )
8		ztri3or 9669	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
9	2, 4, 8	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N \/ N < M ) )
10		df-3or 1010	. . . . 5 |- ( ( M < N \/ M = N \/ N < M ) <-> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M < N \/ M = N ) \/ N < M ) )
12	7, 11	ecased 1390	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N \/ M = N ) )
13	12	orcomd 741	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N \/ M < N ) )
14		eqcom 2240	. . . . 5 |- ( M = N <-> N = M )
15	14	biimpi 120	. . . 4 |- ( M = N -> N = M )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M = N -> N = M ) )
17		zltlem1 9684	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
18	2, 4, 17	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
19		1zzd 9653	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> 1 e. ZZ )
20	4, 19	zsubcld 9755	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
21		eluz 9917	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
22	2, 20, 21	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ ( N - 1 ) ) )
23	18, 22	bitr4d 191	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
24	23	biimpd 144	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M < N -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )
25	16, 24	orim12d 798	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M = N \/ M < N ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
26	13, 25	mpd 13	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N = M \/ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   1c1 8173   < clt 8353   <_ cle 8354   - cmin 8490   ZZcz 9626   ZZ>=cuz 9903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904

This theorem is referenced by:  uzp1  9938  fzm1  10488  hashfzo  11244  iserex  12086  ntrivcvgap  12296