ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzm1 Unicode version

Theorem uzm1 9110
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzle 9092 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
2 eluzel2 9085 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
32zred 8929 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
4 eluzelz 9089 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
54zred 8929 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
63, 5lenltd 7662 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
71, 6mpbid 146 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  N  <  M )
8 ztri3or 8854 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M ) )
92, 4, 8syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  < 
M ) )
10 df-3or 926 . . . . 5  |-  ( ( M  <  N  \/  M  =  N  \/  N  <  M )  <->  ( ( M  <  N  \/  M  =  N )  \/  N  <  M ) )
119, 10sylib 121 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  <  N  \/  M  =  N )  \/  N  <  M ) )
127, 11ecased 1286 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  \/  M  =  N ) )
1312orcomd 684 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  =  N  \/  M  <  N ) )
14 eqcom 2091 . . . . 5  |-  ( M  =  N  <->  N  =  M )
1514biimpi 119 . . . 4  |-  ( M  =  N  ->  N  =  M )
1615a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  =  N  ->  N  =  M ) )
17 zltlem1 8868 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
182, 4, 17syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
19 1zzd 8838 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  1  e.  ZZ )
204, 19zsubcld 8934 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
21 eluz 9093 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
222, 20, 21syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
2318, 22bitr4d 190 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  <->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
2423biimpd 143 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
2516, 24orim12d 736 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  =  N  \/  M  <  N )  -> 
( N  =  M  \/  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) ) ) )
2613, 25mpd 13 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 665    \/ w3o 924    = wceq 1290    e. wcel 1439   class class class wbr 3851   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   1c1 7412    < clt 7583    <_ cle 7584    - cmin 7714   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081
This theorem is referenced by:  uzp1  9113  fzm1  9575  hashfzo  10291  iserex  10788
  Copyright terms: Public domain W3C validator