Theorem eluzsub 9552

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
eluzsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9532	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1020	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		simp2 998	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	2, 3	zsubcld 9375	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
5		simp3 999	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))
6		simp1 997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6, 3	zaddcld 9374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
8		eluz1 9527	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁)))
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁)))
10	5, 9	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁))
11	10	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁)
12	6	zred 9370	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	3	zred 9370	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℝ)
14	2	zred 9370	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		leaddsub 8390	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
17	11, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))
18		eluz1 9527	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))))
19	6, 18	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))))
20	4, 17, 19	mpbir2and 944	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4002  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  ℝcr 7806   + caddc 7810   ≤ cle 7988   − cmin 8123  ℤcz 9248  ℤ_≥cuz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524

This theorem is referenced by:  fzoss2  10166  shftuz  10818  climshftlemg  11302  isumshft  11490