Theorem zaddcld 9754

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zaddcl 9666	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   + caddc 8175   ZZcz 9626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627

This theorem is referenced by:  zadd2cl  9757  eluzadd  9933  eluzsub  9934  qaddcl  10017  fzen  10429  elincfzoext  10592  eluzgtdifelfzo  10596  exbtwnzlemstep  10663  qbtwnre  10672  flqaddz  10713  modaddmodup  10805  addmodlteq  10816  uzennn  10854  seq3shft2  10899  seqshft2g  10900  expaddzaplem  11000  sqoddm1div8  11112  ccatlen  11344  ccatass  11357  swrdlen  11405  swrdfv  11406  swrdwrdsymbg  11417  swrdswrd  11458  iser3shft  12093  mptfzshft  12190  fsumshft  12192  fsumshftm  12193  fisumrev2  12194  isumshft  12238  fprodshft  12366  dvds2ln  12572  gcdaddm  12742  uzwodc  12795  lcmgcdlem  12836  divgcdcoprm0  12860  hashdvds  12980  pythagtriplem4  13028  pythagtriplem11  13034  pcaddlem  13099  gzmulcl  13138  4sqlem8  13145  4sqlem10  13147  4sqexercise2  13159  4sqlem11  13161  4sqlem14  13164  4sqlem16  13166  mulgdir  13937  gzsumshift  14129  plymullem1  15775  lgsquad2lem1  16117  2lgsoddprmlem2  16142  2sqlem4  16154  2sqlem8  16159