Theorem zaddcld 9690

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zaddcl 9603	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203  (class class class)co 6041   + caddc 8118   ZZcz 9563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-inn 9226  df-n0 9485  df-z 9564

This theorem is referenced by:  zadd2cl  9693  eluzadd  9869  eluzsub  9870  qaddcl  9953  fzen  10363  elincfzoext  10524  eluzgtdifelfzo  10528  exbtwnzlemstep  10593  qbtwnre  10602  flqaddz  10643  modaddmodup  10735  addmodlteq  10746  uzennn  10784  seq3shft2  10829  seqshft2g  10830  expaddzaplem  10930  sqoddm1div8  11041  ccatlen  11261  ccatass  11274  swrdlen  11322  swrdfv  11323  swrdwrdsymbg  11334  swrdswrd  11375  iser3shft  12009  mptfzshft  12106  fsumshft  12108  fsumshftm  12109  fisumrev2  12110  isumshft  12154  fprodshft  12282  dvds2ln  12488  gcdaddm  12658  uzwodc  12711  lcmgcdlem  12752  divgcdcoprm0  12776  hashdvds  12896  pythagtriplem4  12944  pythagtriplem11  12950  pcaddlem  13015  gzmulcl  13054  4sqlem8  13061  4sqlem10  13063  4sqexercise2  13075  4sqlem11  13077  4sqlem14  13080  4sqlem16  13082  mulgdir  13845  plymullem1  15583  lgsquad2lem1  15924  2lgsoddprmlem2  15949  2sqlem4  15961  2sqlem8  15966  gsumgfsumlem  16834