Theorem zaddcld 9606

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zaddcl 9519	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   + caddc 8035   ZZcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  zadd2cl  9609  eluzadd  9785  eluzsub  9786  qaddcl  9869  fzen  10278  elincfzoext  10438  eluzgtdifelfzo  10442  exbtwnzlemstep  10507  qbtwnre  10516  flqaddz  10557  modaddmodup  10649  addmodlteq  10660  uzennn  10698  seq3shft2  10743  seqshft2g  10744  expaddzaplem  10844  sqoddm1div8  10955  ccatlen  11172  ccatass  11185  swrdlen  11233  swrdfv  11234  swrdwrdsymbg  11245  swrdswrd  11286  iser3shft  11907  mptfzshft  12004  fsumshft  12006  fsumshftm  12007  fisumrev2  12008  isumshft  12052  fprodshft  12180  dvds2ln  12386  gcdaddm  12556  uzwodc  12609  lcmgcdlem  12650  divgcdcoprm0  12674  hashdvds  12794  pythagtriplem4  12842  pythagtriplem11  12848  pcaddlem  12913  gzmulcl  12952  4sqlem8  12959  4sqlem10  12961  4sqexercise2  12973  4sqlem11  12975  4sqlem14  12978  4sqlem16  12980  mulgdir  13742  plymullem1  15474  lgsquad2lem1  15812  2lgsoddprmlem2  15837  2sqlem4  15849  2sqlem8  15854  gsumgfsumlem  16686