Theorem zaddcld 9609

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zaddcl 9522	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6021   + caddc 8038   ZZcz 9482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483

This theorem is referenced by:  zadd2cl  9612  eluzadd  9788  eluzsub  9789  qaddcl  9872  fzen  10281  elincfzoext  10442  eluzgtdifelfzo  10446  exbtwnzlemstep  10511  qbtwnre  10520  flqaddz  10561  modaddmodup  10653  addmodlteq  10664  uzennn  10702  seq3shft2  10747  seqshft2g  10748  expaddzaplem  10848  sqoddm1div8  10959  ccatlen  11179  ccatass  11192  swrdlen  11240  swrdfv  11241  swrdwrdsymbg  11252  swrdswrd  11293  iser3shft  11927  mptfzshft  12024  fsumshft  12026  fsumshftm  12027  fisumrev2  12028  isumshft  12072  fprodshft  12200  dvds2ln  12406  gcdaddm  12576  uzwodc  12629  lcmgcdlem  12670  divgcdcoprm0  12694  hashdvds  12814  pythagtriplem4  12862  pythagtriplem11  12868  pcaddlem  12933  gzmulcl  12972  4sqlem8  12979  4sqlem10  12981  4sqexercise2  12993  4sqlem11  12995  4sqlem14  12998  4sqlem16  13000  mulgdir  13762  plymullem1  15499  lgsquad2lem1  15837  2lgsoddprmlem2  15862  2sqlem4  15874  2sqlem8  15879  gsumgfsumlem  16743