Theorem zaddcld 9589

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zaddcl 9502	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6010   + caddc 8018   ZZcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463

This theorem is referenced by:  zadd2cl  9592  eluzadd  9768  eluzsub  9769  qaddcl  9847  fzen  10256  elincfzoext  10416  eluzgtdifelfzo  10420  exbtwnzlemstep  10484  qbtwnre  10493  flqaddz  10534  modaddmodup  10626  addmodlteq  10637  uzennn  10675  seq3shft2  10720  seqshft2g  10721  expaddzaplem  10821  sqoddm1div8  10932  ccatlen  11148  ccatass  11161  swrdlen  11205  swrdfv  11206  swrdwrdsymbg  11217  swrdswrd  11258  iser3shft  11878  mptfzshft  11974  fsumshft  11976  fsumshftm  11977  fisumrev2  11978  isumshft  12022  fprodshft  12150  dvds2ln  12356  gcdaddm  12526  uzwodc  12579  lcmgcdlem  12620  divgcdcoprm0  12644  hashdvds  12764  pythagtriplem4  12812  pythagtriplem11  12818  pcaddlem  12883  gzmulcl  12922  4sqlem8  12929  4sqlem10  12931  4sqexercise2  12943  4sqlem11  12945  4sqlem14  12948  4sqlem16  12950  mulgdir  13712  plymullem1  15443  lgsquad2lem1  15781  2lgsoddprmlem2  15806  2sqlem4  15818  2sqlem8  15823