Theorem zaddcld 9443

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zaddcl 9357	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   + caddc 7875   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  zadd2cl  9446  eluzadd  9621  eluzsub  9622  qaddcl  9700  fzen  10109  eluzgtdifelfzo  10264  exbtwnzlemstep  10316  qbtwnre  10325  flqaddz  10366  modaddmodup  10458  addmodlteq  10469  uzennn  10507  seq3shft2  10552  seqshft2g  10553  expaddzaplem  10653  sqoddm1div8  10764  iser3shft  11489  mptfzshft  11585  fsumshft  11587  fsumshftm  11588  fisumrev2  11589  isumshft  11633  fprodshft  11761  dvds2ln  11967  gcdaddm  12121  uzwodc  12174  lcmgcdlem  12215  divgcdcoprm0  12239  hashdvds  12359  pythagtriplem4  12406  pythagtriplem11  12412  pcaddlem  12477  gzmulcl  12516  4sqlem8  12523  4sqlem10  12525  4sqexercise2  12537  4sqlem11  12539  4sqlem14  12542  4sqlem16  12544  mulgdir  13224  plymullem1  14894  2lgsoddprmlem2  15194  2sqlem4  15205  2sqlem8  15210