Theorem zaddcld 9776

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zaddcl 9688	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   + caddc 8182   ZZcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  zadd2cl  9779  eluzadd  9960  eluzsub  9961  qaddcl  10044  fzen  10457  elincfzoext  10621  eluzgtdifelfzo  10625  exbtwnzlemstep  10692  qbtwnre  10701  flqaddz  10745  modaddmodup  10837  addmodlteq  10848  uzennn  10886  seq3shft2  10931  seqshft2g  10932  expaddzaplem  11032  sqoddm1div8  11144  ccatlen  11377  ccatass  11390  swrdlen  11438  swrdfv  11439  swrdwrdsymbg  11450  swrdswrd  11491  iser3shft  12128  mptfzshft  12225  fsumshft  12227  fsumshftm  12228  fisumrev2  12229  isumshft  12273  fprodshft  12401  dvds2ln  12607  gcdaddm  12777  uzwodc  12830  lcmgcdlem  12871  divgcdcoprm0  12895  hashdvds  13019  pythagtriplem4  13067  pythagtriplem11  13073  pcaddlem  13138  gzmulcl  13177  4sqlem8  13184  4sqlem10  13186  4sqexercise2  13198  4sqlem11  13200  4sqlem14  13203  4sqlem16  13205  mulgdir  14006  gzsumshift  14198  plymullem1  15898  lgsquad2lem1  16298  2lgsoddprmlem2  16323  2sqlem4  16335  2sqlem8  16340