Theorem fczpsrbag 14687

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9417	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
3	2	fmpttd 5802	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
4		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
5	4	mptpreima 5230	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ}
6		0nnn 9170	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7	6	rgenw 2587	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ
8		rabeq0 3524	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ)
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅
10	5, 9	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = ∅
11		0fi 7073	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2304	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)
14		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	14	psrbag 14685	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)))
16	3, 13, 15	mpbir2and 952	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514  ∅c0 3494   ↦ cmpt 4150  ^◡ccnv 4724   “ cima 4728  ⟶wf 5322  (class class class)co 6018   ↑_𝑚 cmap 6817  Fincfn 6909  0cc0 8032  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-map 6819  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by: (None)