Theorem fczpsrbag 14168

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9258	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
3	2	fmpttd 5714	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
4		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
5	4	mptpreima 5160	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ}
6		0nnn 9011	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7	6	rgenw 2549	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ
8		rabeq0 3477	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ)
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅
10	5, 9	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = ∅
11		0fin 6942	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2266	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)
14		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	14	psrbag 14166	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)))
16	3, 13, 15	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476  ∅c0 3447   ↦ cmpt 4091  ^◡ccnv 4659   “ cima 4663  ⟶wf 5251  (class class class)co 5919   ↑_𝑚 cmap 6704  Fincfn 6796  0cc0 7874  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-en 6797  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-inn 8985  df-n0 9244

This theorem is referenced by: (None)