Theorem fczpsrbag 14807

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9507	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
3	2	fmpttd 5831	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
4		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
5	4	mptpreima 5255	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ}
6		0nnn 9260	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7	6	rgenw 2597	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ
8		rabeq0 3537	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ)
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅
10	5, 9	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = ∅
11		0fi 7140	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2305	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)
14		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	14	psrbag 14804	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)))
16	3, 13, 15	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524  ∅c0 3507   ↦ cmpt 4170  ^◡ccnv 4747   “ cima 4751  ⟶wf 5347  (class class class)co 6049   ↑_𝑚 cmap 6881  Fincfn 6974  0cc0 8123  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-map 6883  df-en 6975  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-inn 9234  df-n0 9493

This theorem is referenced by: (None)