Theorem fczpsrbag 14869

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9516	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
3	2	fmpttd 5834	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
4		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
5	4	mptpreima 5258	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ}
6		0nnn 9269	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7	6	rgenw 2599	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ
8		rabeq0 3540	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ)
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅
10	5, 9	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = ∅
11		0fi 7143	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2307	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)
14		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	14	psrbag 14866	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)))
16	3, 13, 15	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526  ∅c0 3510   ↦ cmpt 4173  ^◡ccnv 4750   “ cima 4754  ⟶wf 5350  (class class class)co 6052   ↑_𝑚 cmap 6884  Fincfn 6977  0cc0 8132  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-map 6886  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-inn 9243  df-n0 9502

This theorem is referenced by: (None)