Theorem fczpsrbag 14225

Description: The constant function equal to zero is a finite bag. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
fczpsrbag	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fczpsrbag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9264	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ℕ0)
3	2	fmpttd 5717	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0)
4		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
5	4	mptpreima 5163	. . . . 5 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ}
6		0nnn 9017	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
7	6	rgenw 2552	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ
8		rabeq0 3480	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ¬ 0 ∈ ℕ)
9	7, 8	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 0 ∈ ℕ} = ∅
10	5, 9	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) = ∅
11		0fin 6945	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltri 2269	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)
14		psrbag.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	14	psrbag 14223	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) “ ℕ) ∈ Fin)))
16	3, 13, 15	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479  ∅c0 3450   ↦ cmpt 4094  ^◡ccnv 4662   “ cima 4666  ⟶wf 5254  (class class class)co 5922   ↑_𝑚 cmap 6707  Fincfn 6799  0cc0 7879  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-map 6709  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by: (None)