Theorem fnfz0hash 10825

Description: The size of a function on a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fnfz0hash	|- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` F ) = ( N + 1 ) )

Proof of Theorem fnfz0hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> F Fn ( 0 ... N ) )
2		0zd 9278	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
4	3	nn0zd 9386	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
5	2, 4	fzfigd 10444	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
6		fihashfn 10793	. . 3 |- ( ( F Fn ( 0 ... N ) /\ ( 0 ... N ) e. Fin ) -> (♯ ` F ) = (♯ ` ( 0 ... N ) ) )
7	1, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` F ) = (♯ ` ( 0 ... N ) ) )
8		hashfz0 10818	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 0 ... N ) ) = ( N + 1 ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` ( 0 ... N ) ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtrd 2220	1 |- ( ( N e. NN0 /\ F Fn ( 0 ... N ) ) -> (♯ ` F ) = ( N + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   Fn wfn 5223   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Fincfn 6753   0cc0 7824   1c1 7825   + caddc 7827   NN0cn0 9189   ...cfz 10021  ♯chash 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-1o 6430  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-ihash 10769

This theorem is referenced by:  ffz0hash  10826