Theorem fser0const 10921

Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fser0const.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
fser0const	|- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Distinct variable groups:   n, N   n, Z

Allowed substitution hint:   M( n)

Proof of Theorem fser0const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> n <_ N )
2	1	iftrued 3633	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) )
3		c0ex 8284	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5905	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
6	2, 5	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ -. n <_ N ) -> -. n <_ N )
8	7	iffalsed 3636	. . . 4 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ -. n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
9		eluzelz 9881	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
10		fser0const.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
11	9, 10	eleq2s 2329	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
12		eluzelz 9881	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
13	12, 10	eleq2s 2329	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
14		zdcle 9671	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID n <_ N )
15	11, 13, 14	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> DECID n <_ N )
16		exmiddc 844	. . . . 5 |- (DECID n <_ N -> ( n <_ N \/ -. n <_ N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> ( n <_ N \/ -. n <_ N ) )
18	6, 8, 17	mpjaodan 806	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
19	18	mpteq2dva 4205	. 2 |- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. Z |-> 0 ) )
20		fconstmpt 4802	. 2 |- ( Z X. { 0 } ) = ( n e. Z |-> 0 )
21	19, 20	eqtr4di 2285	1 |- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   ifcif 3624   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   X. cxp 4752   ` cfv 5357   0cc0 8143   <_ cle 8325   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  isumz  12100