ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fser0const Unicode version

Theorem fser0const 10519
Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fser0const.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
fser0const  |-  ( N  e.  Z  ->  (
n  e.  Z  |->  if ( n  <_  N ,  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n ) ,  0 ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
Distinct variable groups:    n, N    n, Z
Allowed substitution hint:    M( n)

Proof of Theorem fser0const
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  n  <_  N )  ->  n  <_  N )
21iftrued 3543 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  n  <_  N )  ->  if (
n  <_  N , 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 n ) ,  0 )  =  ( ( Z  X.  {
0 } ) `  n ) )
3 c0ex 7954 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
43fvconst2 5735 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  n )  =  0 )
54ad2antlr 489 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  n  <_  N )  ->  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n )  =  0 )
62, 5eqtrd 2210 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  n  <_  N )  ->  if (
n  <_  N , 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 n ) ,  0 )  =  0 )
7 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  -.  n  <_  N )  ->  -.  n  <_  N )
87iffalsed 3546 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  -.  n  <_  N )  ->  if ( n  <_  N , 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 n ) ,  0 )  =  0 )
9 eluzelz 9540 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
10 fser0const.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10eleq2s 2272 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ZZ )
12 eluzelz 9540 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1312, 10eleq2s 2272 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
14 zdcle 9332 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  n  <_  N )
1511, 13, 14syl2anr 290 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z )  -> DECID  n  <_  N )
16 exmiddc 836 . . . . 5  |-  (DECID  n  <_  N  ->  ( n  <_  N  \/  -.  n  <_  N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z )  ->  ( n  <_  N  \/  -.  n  <_  N
) )
186, 8, 17mpjaodan 798 . . 3  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z )  ->  if ( n  <_  N ,  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n ) ,  0 )  =  0 )
1918mpteq2dva 4095 . 2  |-  ( N  e.  Z  ->  (
n  e.  Z  |->  if ( n  <_  N ,  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  Z  |->  0 ) )
20 fconstmpt 4675 . 2  |-  ( Z  X.  { 0 } )  =  ( n  e.  Z  |->  0 )
2119, 20eqtr4di 2228 1  |-  ( N  e.  Z  ->  (
n  e.  Z  |->  if ( n  <_  N ,  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n ) ,  0 ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   ifcif 3536   {csn 3594   class class class wbr 4005    |-> cmpt 4066    X. cxp 4626   ` cfv 5218   0cc0 7814    <_ cle 7996   ZZcz 9256   ZZ>=cuz 9531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532
This theorem is referenced by:  isumz  11400
  Copyright terms: Public domain W3C validator