Theorem fser0const 10724

Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fser0const.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
fser0const	|- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Distinct variable groups:   n, N   n, Z

Allowed substitution hint:   M( n)

Proof of Theorem fser0const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> n <_ N )
2	1	iftrued 3589	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) )
3		c0ex 8108	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5828	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
6	2, 5	eqtrd 2242	. . . 4 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ -. n <_ N ) -> -. n <_ N )
8	7	iffalsed 3592	. . . 4 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ -. n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
9		eluzelz 9699	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
10		fser0const.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
11	9, 10	eleq2s 2304	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
12		eluzelz 9699	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
13	12, 10	eleq2s 2304	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
14		zdcle 9491	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID n <_ N )
15	11, 13, 14	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> DECID n <_ N )
16		exmiddc 840	. . . . 5 |- (DECID n <_ N -> ( n <_ N \/ -. n <_ N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> ( n <_ N \/ -. n <_ N ) )
18	6, 8, 17	mpjaodan 802	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
19	18	mpteq2dva 4153	. 2 |- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. Z |-> 0 ) )
20		fconstmpt 4743	. 2 |- ( Z X. { 0 } ) = ( n e. Z |-> 0 )
21	19, 20	eqtr4di 2260	1 |- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 712  DECID wdc 838   = wceq 1375   e. wcel 2180   ifcif 3582   {csn 3646   class class class wbr 4062   |-> cmpt 4124   X. cxp 4694   ` cfv 5294   0cc0 7967   <_ cle 8150   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691

This theorem is referenced by:  isumz  11866