Theorem fser0const 10289

Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fser0const.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
fser0const	|- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Distinct variable groups:   n, N   n, Z

Allowed substitution hint:   M( n)

Proof of Theorem fser0const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> n <_ N )
2	1	iftrued 3481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) )
3		c0ex 7760	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5636	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
5	4	ad2antlr 480	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
6	2, 5	eqtrd 2172	. . . 4 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
7		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ -. n <_ N ) -> -. n <_ N )
8	7	iffalsed 3484	. . . 4 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ -. n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
9		eluzelz 9335	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
10		fser0const.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
11	9, 10	eleq2s 2234	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
12		eluzelz 9335	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
13	12, 10	eleq2s 2234	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
14		zdcle 9127	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID n <_ N )
15	11, 13, 14	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> DECID n <_ N )
16		exmiddc 821	. . . . 5 |- (DECID n <_ N -> ( n <_ N \/ -. n <_ N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> ( n <_ N \/ -. n <_ N ) )
18	6, 8, 17	mpjaodan 787	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
19	18	mpteq2dva 4018	. 2 |- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. Z |-> 0 ) )
20		fconstmpt 4586	. 2 |- ( Z X. { 0 } ) = ( n e. Z |-> 0 )
21	19, 20	syl6eqr 2190	1 |- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   ifcif 3474   {csn 3527   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   ` cfv 5123   0cc0 7620   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  isumz  11158