Theorem fser0const 10451

Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fser0const.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
fser0const	|- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Distinct variable groups:   n, N   n, Z

Allowed substitution hint:   M( n)

Proof of Theorem fser0const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> n <_ N )
2	1	iftrued 3527	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) )
3		c0ex 7893	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5701	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
5	4	ad2antlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
6	2, 5	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
7		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ -. n <_ N ) -> -. n <_ N )
8	7	iffalsed 3530	. . . 4 |- ( ( ( N e. Z /\ n e. Z ) /\ -. n <_ N ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
9		eluzelz 9475	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
10		fser0const.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
11	9, 10	eleq2s 2261	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
12		eluzelz 9475	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
13	12, 10	eleq2s 2261	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
14		zdcle 9267	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID n <_ N )
15	11, 13, 14	syl2anr 288	. . . . 5 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> DECID n <_ N )
16		exmiddc 826	. . . . 5 |- (DECID n <_ N -> ( n <_ N \/ -. n <_ N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> ( n <_ N \/ -. n <_ N ) )
18	6, 8, 17	mpjaodan 788	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ n e. Z ) -> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) = 0 )
19	18	mpteq2dva 4072	. 2 |- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( n e. Z |-> 0 ) )
20		fconstmpt 4651	. 2 |- ( Z X. { 0 } ) = ( n e. Z |-> 0 )
21	19, 20	eqtr4di 2217	1 |- ( N e. Z -> ( n e. Z |-> if ( n <_ N , ( ( Z X. { 0 } ) ` n ) , 0 ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   ifcif 3520   {csn 3576   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   ` cfv 5188   0cc0 7753   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  isumz  11330