ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fser0const Unicode version

Theorem fser0const 9951
Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fser0const.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
fser0const  |-  ( N  e.  Z  ->  (
n  e.  Z  |->  if ( n  <_  N ,  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n ) ,  0 ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
Distinct variable groups:    n, N    n, Z
Allowed substitution hint:    M( n)

Proof of Theorem fser0const
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  n  <_  N )  ->  n  <_  N )
21iftrued 3400 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  n  <_  N )  ->  if (
n  <_  N , 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 n ) ,  0 )  =  ( ( Z  X.  {
0 } ) `  n ) )
3 c0ex 7482 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
43fvconst2 5513 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  n )  =  0 )
54ad2antlr 473 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  n  <_  N )  ->  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n )  =  0 )
62, 5eqtrd 2120 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  n  <_  N )  ->  if (
n  <_  N , 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 n ) ,  0 )  =  0 )
7 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  -.  n  <_  N )  ->  -.  n  <_  N )
87iffalsed 3403 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z
)  /\  -.  n  <_  N )  ->  if ( n  <_  N , 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 n ) ,  0 )  =  0 )
9 eluzelz 9028 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
10 fser0const.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10eleq2s 2182 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ZZ )
12 eluzelz 9028 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1312, 10eleq2s 2182 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
14 zdcle 8823 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  n  <_  N )
1511, 13, 14syl2anr 284 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z )  -> DECID  n  <_  N )
16 exmiddc 782 . . . . 5  |-  (DECID  n  <_  N  ->  ( n  <_  N  \/  -.  n  <_  N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z )  ->  ( n  <_  N  \/  -.  n  <_  N
) )
186, 8, 17mpjaodan 747 . . 3  |-  ( ( N  e.  Z  /\  n  e.  Z )  ->  if ( n  <_  N ,  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n ) ,  0 )  =  0 )
1918mpteq2dva 3928 . 2  |-  ( N  e.  Z  ->  (
n  e.  Z  |->  if ( n  <_  N ,  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n ) ,  0 ) )  =  ( n  e.  Z  |->  0 ) )
20 fconstmpt 4485 . 2  |-  ( Z  X.  { 0 } )  =  ( n  e.  Z  |->  0 )
2119, 20syl6eqr 2138 1  |-  ( N  e.  Z  ->  (
n  e.  Z  |->  if ( n  <_  N ,  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  n ) ,  0 ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   ifcif 3393   {csn 3446   class class class wbr 3845    |-> cmpt 3899    X. cxp 4436   ` cfv 5015   0cc0 7350    <_ cle 7523   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020
This theorem is referenced by:  isumz  10781
  Copyright terms: Public domain W3C validator