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Theorem ser3ge0 10230
Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ser3ge0.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
ser3ge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
ser3ge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  0  <_  ( F `  k ) )
Assertion
Ref Expression
ser3ge0  |-  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem ser3ge0
Dummy variables  j  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser3ge0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 9752 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5387 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  w
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )
54breq2d 3909 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  (
0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  w
)  <->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) )
65imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  w ) )  <->  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) )
7 fveq2 5387 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  w
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )
87breq2d 3909 . . . 4  |-  ( w  =  j  ->  (
0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  w
)  <->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) ) )
98imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  j  ->  (
( ph  ->  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  w ) )  <->  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) ) ) )
10 fveq2 5387 . . . . 5  |-  ( w  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  w
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) )
1110breq2d 3909 . . . 4  |-  ( w  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  w
)  <->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  w ) )  <->  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
13 fveq2 5387 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  w
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )
1413breq2d 3909 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  w
)  <->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
1514imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  w ) )  <->  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) ) )
16 fveq2 5387 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
1716breq2d 3909 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  (
0  <_  ( F `  k )  <->  0  <_  ( F `  M ) ) )
18 ser3ge0.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  0  <_  ( F `  k ) )
1918ralrimiva 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) 0  <_  ( F `  k ) )
20 eluzfz1 9751 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
211, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
2217, 19, 21rspcdva 2766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  M ) )
23 eluzel2 9280 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
241, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
25 ser3ge0.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
26 readdcl 7710 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  ( k  +  v )  e.  RR )
2726adantl 273 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  RR  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( k  +  v )  e.  RR )
2824, 25, 27seq3-1 10173 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
2922, 28breqtrrd 3924 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )
3029a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) )
31 eqid 2115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
3231, 24, 25, 27seqf 10174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : ( ZZ>= `  M ) --> RR )
3332ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  ->  seq M (  +  ,  F ) : (
ZZ>= `  M ) --> RR )
34 elfzouz 9868 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3534ad2antlr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
j  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3633, 35ffvelrnd 5522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j )  e.  RR )
37 fveq2 5387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
3837eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
3925ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  RR )
4039adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  RR )
41 peano2uz 9327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4234, 41syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4342adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
4438, 40, 43rspcdva 2766 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
4544adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
( F `  (
j  +  1 ) )  e.  RR )
46 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )
4737breq2d 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( F `  k )  <->  0  <_  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
4819ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) 0  <_  ( F `  k ) )
49 fzofzp1 9944 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
5049ad2antlr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
5147, 48, 50rspcdva 2766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
0  <_  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
5236, 45, 46, 51addge0d 8247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
0  <_  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  +  ( F `
 ( j  +  1 ) ) ) )
5325adantlr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
5453adantlr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR )
5526adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  /\  ( k  e.  RR  /\  v  e.  RR ) )  -> 
( k  +  v )  e.  RR )
5635, 54, 55seq3p1 10175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
(  seq M (  +  ,  F ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 j )  +  ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
5752, 56breqtrrd 3924 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  /\  0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j ) )  -> 
0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) )
5857ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( 0  <_ 
(  seq M (  +  ,  F ) `  j )  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
5958expcom 115 . . . 4  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
6059a2d 26 . . 3  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  ->  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
616, 9, 12, 15, 30, 60fzind2 9956 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) ) )
623, 61mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  0  <_  (  seq M (  +  ,  F ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   class class class wbr 3897   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    <_ cle 7765   ZZcz 9005   ZZ>=cuz 9275   ...cfz 9730  ..^cfzo 9859    seqcseq 10158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159
This theorem is referenced by:  ser3le  10231
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