Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser3ge0 Unicode version

Theorem ser3ge0 10398
 Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ser3ge0.1
ser3ge0.2
ser3ge0.3
Assertion
Ref Expression
ser3ge0
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ser3ge0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser3ge0.1 . . 3
2 eluzfz2 9916 . . 3
31, 2syl 14 . 2
4 fveq2 5465 . . . . 5
54breq2d 3977 . . . 4
65imbi2d 229 . . 3
7 fveq2 5465 . . . . 5
87breq2d 3977 . . . 4
98imbi2d 229 . . 3
10 fveq2 5465 . . . . 5
1110breq2d 3977 . . . 4
1211imbi2d 229 . . 3
13 fveq2 5465 . . . . 5
1413breq2d 3977 . . . 4
1514imbi2d 229 . . 3
16 fveq2 5465 . . . . . . 7
1716breq2d 3977 . . . . . 6
18 ser3ge0.3 . . . . . . 7
1918ralrimiva 2530 . . . . . 6
20 eluzfz1 9915 . . . . . . 7
211, 20syl 14 . . . . . 6
2217, 19, 21rspcdva 2821 . . . . 5
23 eluzel2 9427 . . . . . . 7
241, 23syl 14 . . . . . 6
25 ser3ge0.2 . . . . . 6
26 readdcl 7841 . . . . . . 7
2726adantl 275 . . . . . 6
2824, 25, 27seq3-1 10341 . . . . 5
2922, 28breqtrrd 3992 . . . 4
3029a1i 9 . . 3
31 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11
3231, 24, 25, 27seqf 10342 . . . . . . . . . 10
3332ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 ..^
34 elfzouz 10032 . . . . . . . . . 10 ..^
3534ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 ..^
3633, 35ffvelrnd 5600 . . . . . . . 8 ..^
37 fveq2 5465 . . . . . . . . . . 11
3837eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10
3925ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . 11
4039adantr 274 . . . . . . . . . 10 ..^
41 peano2uz 9477 . . . . . . . . . . . 12
4234, 41syl 14 . . . . . . . . . . 11 ..^
4342adantl 275 . . . . . . . . . 10 ..^
4438, 40, 43rspcdva 2821 . . . . . . . . 9 ..^
4544adantr 274 . . . . . . . 8 ..^
46 simpr 109 . . . . . . . 8 ..^
4737breq2d 3977 . . . . . . . . 9
4819ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 ..^
49 fzofzp1 10108 . . . . . . . . . 10 ..^
5049ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 ..^
5147, 48, 50rspcdva 2821 . . . . . . . 8 ..^
5236, 45, 46, 51addge0d 8380 . . . . . . 7 ..^
5325adantlr 469 . . . . . . . . 9 ..^
5453adantlr 469 . . . . . . . 8 ..^
5526adantl 275 . . . . . . . 8 ..^
5635, 54, 55seq3p1 10343 . . . . . . 7 ..^
5752, 56breqtrrd 3992 . . . . . 6 ..^
5857ex 114 . . . . 5 ..^
5958expcom 115 . . . 4 ..^
6059a2d 26 . . 3 ..^
616, 9, 12, 15, 30, 60fzind2 10120 . 2
623, 61mpcom 36 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435   class class class wbr 3965  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818  cr 7714  cc0 7715  c1 7716   caddc 7718   cle 7896  cz 9150  cuz 9422  cfz 9894  ..^cfzo 10023   cseq 10326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327 This theorem is referenced by:  ser3le  10399
 Copyright terms: Public domain W3C validator