Theorem ser3ge0 10535

Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ser3ge0.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
ser3ge0.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
ser3ge0.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
ser3ge0	|- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem ser3ge0

Dummy variables j v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser3ge0.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10050	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5530	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` M ) )
5	4	breq2d 4030	. . . 4 |- ( w = M -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) ) )
7		fveq2 5530	. . . . 5 |- ( w = j -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` j ) )
8	7	breq2d 4030	. . . 4 |- ( w = j -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) )
10		fveq2 5530	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
11	10	breq2d 4030	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
13		fveq2 5530	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
14	13	breq2d 4030	. . . 4 |- ( w = N -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) ) )
16		fveq2 5530	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
17	16	breq2d 4030	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( 0 <_ ( F ` k ) <-> 0 <_ ( F ` M ) ) )
18		ser3ge0.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
19	18	ralrimiva 2563	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) 0 <_ ( F ` k ) )
20		eluzfz1 10049	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
21	1, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
22	17, 19, 21	rspcdva 2861	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` M ) )
23		eluzel2 9551	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
25		ser3ge0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		readdcl 7955	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ v e. RR ) -> ( k + v ) e. RR )
27	26	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( k + v ) e. RR )
28	24, 25, 27	seq3-1 10478	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
29	22, 28	breqtrrd 4046	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) )
31		eqid 2189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
32	31, 24, 25, 27	seqf 10479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
34		elfzouz 10169	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 35	ffvelcdmd 5668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) e. RR )
37		fveq2 5530	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( j + 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2258	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR ) )
39	25	ralrimiva 2563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )
41		peano2uz 9601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
42	34, 41	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
44	38, 40, 43	rspcdva 2861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR )
46		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) )
47	37	breq2d 4030	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( F ` k ) <-> 0 <_ ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
48	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> A. k e. ( M ... N ) 0 <_ ( F ` k ) )
49		fzofzp1 10245	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
50	49	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
51	47, 48, 50	rspcdva 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( F ` ( j + 1 ) ) )
52	36, 45, 46, 51	addge0d 8497	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( ( seq M ( + , F ) ` j ) + ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
53	25	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	53	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
55	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) /\ ( k e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( k + v ) e. RR )
56	35, 54, 55	seq3p1 10480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` j ) + ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
57	52, 56	breqtrrd 4046	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
58	57	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) )
59	58	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
60	59	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
61	6, 9, 12, 15, 30, 60	fzind2 10257	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
62	3, 61	mpcom 36	1 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   class class class wbr 4018   -->wf 5227   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   RRcr 7828   0cc0 7829   1c1 7830   + caddc 7832   <_ cle 8011   ZZcz 9271   ZZ>=cuz 9546   ...cfz 10026  ..^cfzo 10160   seqcseq 10463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464

This theorem is referenced by:  ser3le  10536