Theorem ser3ge0 10607

Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ser3ge0.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
ser3ge0.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
ser3ge0.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
ser3ge0	|- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem ser3ge0

Dummy variables j v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser3ge0.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10098	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` M ) )
5	4	breq2d 4041	. . . 4 |- ( w = M -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) ) )
7		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = j -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` j ) )
8	7	breq2d 4041	. . . 4 |- ( w = j -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) )
10		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
11	10	breq2d 4041	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
13		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
14	13	breq2d 4041	. . . 4 |- ( w = N -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) ) )
16		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
17	16	breq2d 4041	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( 0 <_ ( F ` k ) <-> 0 <_ ( F ` M ) ) )
18		ser3ge0.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
19	18	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) 0 <_ ( F ` k ) )
20		eluzfz1 10097	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
21	1, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
22	17, 19, 21	rspcdva 2869	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` M ) )
23		eluzel2 9597	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
25		ser3ge0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		readdcl 7998	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ v e. RR ) -> ( k + v ) e. RR )
27	26	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( k + v ) e. RR )
28	24, 25, 27	seq3-1 10533	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
29	22, 28	breqtrrd 4057	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) )
31		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
32	31, 24, 25, 27	seqf 10535	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
34		elfzouz 10217	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 35	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) e. RR )
37		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( j + 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR ) )
39	25	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )
41		peano2uz 9648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
42	34, 41	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
44	38, 40, 43	rspcdva 2869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR )
46		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) )
47	37	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( F ` k ) <-> 0 <_ ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
48	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> A. k e. ( M ... N ) 0 <_ ( F ` k ) )
49		fzofzp1 10294	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
50	49	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
51	47, 48, 50	rspcdva 2869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( F ` ( j + 1 ) ) )
52	36, 45, 46, 51	addge0d 8541	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( ( seq M ( + , F ) ` j ) + ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
53	25	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	53	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
55	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) /\ ( k e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( k + v ) e. RR )
56	35, 54, 55	seq3p1 10536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` j ) + ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
57	52, 56	breqtrrd 4057	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
58	57	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) )
59	58	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
60	59	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
61	6, 9, 12, 15, 30, 60	fzind2 10306	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
62	3, 61	mpcom 36	1 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4029   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ser3le  10608