Theorem ser3ge0 10645

Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ser3ge0.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
ser3ge0.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
ser3ge0.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
ser3ge0	|- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem ser3ge0

Dummy variables j v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser3ge0.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10124	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5561	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` M ) )
5	4	breq2d 4046	. . . 4 |- ( w = M -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) ) )
7		fveq2 5561	. . . . 5 |- ( w = j -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` j ) )
8	7	breq2d 4046	. . . 4 |- ( w = j -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) )
10		fveq2 5561	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
11	10	breq2d 4046	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
13		fveq2 5561	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
14	13	breq2d 4046	. . . 4 |- ( w = N -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) ) )
16		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
17	16	breq2d 4046	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( 0 <_ ( F ` k ) <-> 0 <_ ( F ` M ) ) )
18		ser3ge0.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
19	18	ralrimiva 2570	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) 0 <_ ( F ` k ) )
20		eluzfz1 10123	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
21	1, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
22	17, 19, 21	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` M ) )
23		eluzel2 9623	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
25		ser3ge0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		readdcl 8022	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ v e. RR ) -> ( k + v ) e. RR )
27	26	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( k + v ) e. RR )
28	24, 25, 27	seq3-1 10571	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
29	22, 28	breqtrrd 4062	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) )
31		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
32	31, 24, 25, 27	seqf 10573	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
34		elfzouz 10243	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 35	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) e. RR )
37		fveq2 5561	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( j + 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR ) )
39	25	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )
41		peano2uz 9674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
42	34, 41	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
44	38, 40, 43	rspcdva 2873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR )
46		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) )
47	37	breq2d 4046	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( F ` k ) <-> 0 <_ ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
48	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> A. k e. ( M ... N ) 0 <_ ( F ` k ) )
49		fzofzp1 10320	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
50	49	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
51	47, 48, 50	rspcdva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( F ` ( j + 1 ) ) )
52	36, 45, 46, 51	addge0d 8566	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( ( seq M ( + , F ) ` j ) + ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
53	25	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	53	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
55	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) /\ ( k e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( k + v ) e. RR )
56	35, 54, 55	seq3p1 10574	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` j ) + ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
57	52, 56	breqtrrd 4062	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
58	57	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) )
59	58	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
60	59	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
61	6, 9, 12, 15, 30, 60	fzind2 10332	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
62	3, 61	mpcom 36	1 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4034   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   <_ cle 8079   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100  ..^cfzo 10234   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  ser3le  10646