Theorem ser3ge0 10951

Description: A finite sum of nonnegative terms is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ser3ge0.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
ser3ge0.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
ser3ge0.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
ser3ge0	|- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem ser3ge0

Dummy variables j v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser3ge0.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10415	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` M ) )
5	4	breq2d 4137	. . . 4 |- ( w = M -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) ) )
7		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( w = j -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` j ) )
8	7	breq2d 4137	. . . 4 |- ( w = j -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) ) )
10		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
11	10	breq2d 4137	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
13		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( + , F ) ` w ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
14	13	breq2d 4137	. . . 4 |- ( w = N -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) <-> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` w ) ) <-> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) ) )
16		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
17	16	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( 0 <_ ( F ` k ) <-> 0 <_ ( F ` M ) ) )
18		ser3ge0.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
19	18	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) 0 <_ ( F ` k ) )
20		eluzfz1 10414	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
21	1, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
22	17, 19, 21	rspcdva 2934	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` M ) )
23		eluzel2 9905	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
24	1, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
25		ser3ge0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26		readdcl 8295	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR /\ v e. RR ) -> ( k + v ) e. RR )
27	26	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( k e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( k + v ) e. RR )
28	24, 25, 27	seq3-1 10877	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
29	22, 28	breqtrrd 4153	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) )
30	29	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` M ) ) )
31		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
32	31, 24, 25, 27	seqf 10879	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
33	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> seq M ( + , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> RR )
34		elfzouz 10536	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
36	33, 35	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` j ) e. RR )
37		fveq2 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( j + 1 ) ) )
38	37	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR ) )
39	25	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. RR )
41		peano2uz 9962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
42	34, 41	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
44	38, 40, 43	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) e. RR )
46		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) )
47	37	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( F ` k ) <-> 0 <_ ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
48	19	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> A. k e. ( M ... N ) 0 <_ ( F ` k ) )
49		fzofzp1 10623	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
50	49	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
51	47, 48, 50	rspcdva 2934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( F ` ( j + 1 ) ) )
52	36, 45, 46, 51	addge0d 8840	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( ( seq M ( + , F ) ` j ) + ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
53	25	adantlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
54	53	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
55	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) /\ ( k e. RR /\ v e. RR ) ) -> ( k + v ) e. RR )
56	35, 54, 55	seq3p1 10880	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` j ) + ( F ` ( j + 1 ) ) ) )
57	52, 56	breqtrrd 4153	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) )
58	57	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) )
59	58	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
60	59	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` j ) ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
61	6, 9, 12, 15, 30, 60	fzind2 10636	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) ) )
62	3, 61	mpcom 36	1 |- ( ph -> 0 <_ ( seq M ( + , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4125   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527   seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  ser3le  10952