Theorem ser0f 10450

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
ser0f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Proof of Theorem ser0f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser0.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	ser0 10449	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = 0 )
3		c0ex 7893	. . . . 5 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5701	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
5	2, 4	eqtr4d 2201	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2519	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k )
7		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		id 19	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
9	1	eleq2i 2233	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
10		0cnd 7892	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z -> 0 e. CC )
11	4, 10	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
12	9, 11	sylbir 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
13	12	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
14	7, 8, 13	serf 10409	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
15	14	ffnd 5338	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
16	1	fneq2i 5283	. . . 4 |- ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z <-> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
17	15, 16	sylibr 133	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z )
18	3	fconst 5383	. . . 4 |- ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 }
19		ffn 5337	. . . 4 |- ( ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 } -> ( Z X. { 0 } ) Fn Z )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( Z X. { 0 } ) Fn Z
21		eqfnfv 5583	. . 3 |- ( ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z /\ ( Z X. { 0 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
22	17, 20, 21	sylancl 410	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
23	6, 22	mpbiri 167	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   {csn 3576   X. cxp 4602   Fn wfn 5183   -->wf 5184   ` cfv 5188   CCcc 7751   0cc0 7753   + caddc 7756   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  serclim0  11246