ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser0f Unicode version

Theorem ser0f 10464
Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
ser0f  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem ser0f
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser0.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21ser0 10463 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  0 )
3 c0ex 7907 . . . . 5  |-  0  e.  _V
43fvconst2 5710 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  k )  =  0 )
52, 4eqtr4d 2206 . . 3  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k ) )
65rgen 2523 . 2  |-  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )
7 eqid 2170 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
8 id 19 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
91eleq2i 2237 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 0cnd 7906 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Z  ->  0  e.  CC )
114, 10eqeltrd 2247 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  k )  e.  CC )
129, 11sylbir 134 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k )  e.  CC )
1312adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )  e.  CC )
147, 8, 13serf 10423 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) : ( ZZ>= `  M
) --> CC )
1514ffnd 5346 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  M
) )
161fneq2i 5291 . . . 4  |-  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  Z  <->  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
1715, 16sylibr 133 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  Z )
183fconst 5391 . . . 4  |-  ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }
19 ffn 5345 . . . 4  |-  ( ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }  ->  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)
2018, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
21 eqfnfv 5591 . . 3  |-  ( (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  Z  /\  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k ) ) )
2217, 20, 21sylancl 411 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k ) ) )
236, 22mpbiri 167 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   {csn 3581    X. cxp 4607    Fn wfn 5191   -->wf 5192   ` cfv 5196   CCcc 7765   0cc0 7767    + caddc 7770   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480    seqcseq 10394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395
This theorem is referenced by:  serclim0  11261
  Copyright terms: Public domain W3C validator