ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser0f Unicode version

Theorem ser0f 10529
Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
ser0f  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem ser0f
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser0.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21ser0 10528 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  0 )
3 c0ex 7965 . . . . 5  |-  0  e.  _V
43fvconst2 5745 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  k )  =  0 )
52, 4eqtr4d 2223 . . 3  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k ) )
65rgen 2540 . 2  |-  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )
7 eqid 2187 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
8 id 19 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
91eleq2i 2254 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
10 0cnd 7964 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Z  ->  0  e.  CC )
114, 10eqeltrd 2264 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  k )  e.  CC )
129, 11sylbir 135 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k )  e.  CC )
1312adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )  e.  CC )
147, 8, 13serf 10488 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) : ( ZZ>= `  M
) --> CC )
1514ffnd 5378 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  M
) )
161fneq2i 5323 . . . 4  |-  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  Z  <->  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
1715, 16sylibr 134 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  Fn  Z )
183fconst 5423 . . . 4  |-  ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }
19 ffn 5377 . . . 4  |-  ( ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }  ->  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)
2018, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
21 eqfnfv 5626 . . 3  |-  ( (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) )  Fn  Z  /\  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k ) ) )
2217, 20, 21sylancl 413 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ) `  k )  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k ) ) )
236, 22mpbiri 168 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   {csn 3604    X. cxp 4636    Fn wfn 5223   -->wf 5224   ` cfv 5228   CCcc 7823   0cc0 7825    + caddc 7828   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542    seqcseq 10459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460
This theorem is referenced by:  serclim0  11327
  Copyright terms: Public domain W3C validator