Theorem ser0f 10605

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
ser0f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Proof of Theorem ser0f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser0.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	ser0 10604	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = 0 )
3		c0ex 8013	. . . . 5 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5774	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
5	2, 4	eqtr4d 2229	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2547	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k )
7		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		id 19	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
9	1	eleq2i 2260	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
10		0cnd 8012	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z -> 0 e. CC )
11	4, 10	eqeltrd 2270	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
12	9, 11	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
14	7, 8, 13	serf 10554	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
15	14	ffnd 5404	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
16	1	fneq2i 5349	. . . 4 |- ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z <-> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
17	15, 16	sylibr 134	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z )
18	3	fconst 5449	. . . 4 |- ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 }
19		ffn 5403	. . . 4 |- ( ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 } -> ( Z X. { 0 } ) Fn Z )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( Z X. { 0 } ) Fn Z
21		eqfnfv 5655	. . 3 |- ( ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z /\ ( Z X. { 0 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
22	17, 20, 21	sylancl 413	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
23	6, 22	mpbiri 168	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {csn 3618   X. cxp 4657   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254   CCcc 7870   0cc0 7872   + caddc 7875   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  serclim0  11448