ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser0f Unicode version

Theorem ser0f 10004
Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
ser0f  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem ser0f
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
2 ser0.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32eleq2i 2155 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4 c0ex 7536 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
54fvconst2 5527 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  k )  =  0 )
6 0cnd 7535 . . . . . 6  |-  ( k  e.  Z  ->  0  e.  CC )
75, 6eqeltrd 2165 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( Z  X.  {
0 } ) `  k )  e.  CC )
83, 7sylbir 134 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k )  e.  CC )
98adantl 272 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )  e.  CC )
101, 9iseqseq3 9956 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC )  =  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) )
112iser0 10001 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC ) `  k
)  =  0 )
1211, 5eqtr4d 2124 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC ) `  k
)  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k
) )
1312rgen 2429 . . 3  |-  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC ) `  k
)  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k
)
14 eqid 2089 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
1514, 1, 9iserf 9957 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC ) : (
ZZ>= `  M ) --> CC )
1615ffnd 5175 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
172fneq2i 5122 . . . . 5  |-  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC )  Fn  Z  <->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC )  Fn  ( ZZ>=
`  M ) )
1816, 17sylibr 133 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC )  Fn  Z
)
194fconst 5219 . . . . 5  |-  ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }
20 ffn 5174 . . . . 5  |-  ( ( Z  X.  { 0 } ) : Z --> { 0 }  ->  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
)
2119, 20ax-mp 7 . . . 4  |-  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z
22 eqfnfv 5411 . . . 4  |-  ( (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ,  CC )  Fn  Z  /\  ( Z  X.  { 0 } )  Fn  Z )  ->  (  seq M
(  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ,  CC )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  ,  ( Z  X.  { 0 } ) ,  CC ) `  k )  =  ( ( Z  X.  {
0 } ) `  k ) ) )
2318, 21, 22sylancl 405 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC )  =  ( Z  X.  { 0 } )  <->  A. k  e.  Z  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC ) `  k
)  =  ( ( Z  X.  { 0 } ) `  k
) ) )
2413, 23mpbiri 167 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
2510, 24eqtr3d 2123 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) )  =  ( Z  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   A.wral 2360   {csn 3450    X. cxp 4449    Fn wfn 5023   -->wf 5024   ` cfv 5028   CCcc 7402   0cc0 7404    + caddc 7407   ZZcz 8804   ZZ>=cuz 9073    seqcseq4 9905    seqcseq 9906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-fz 9479  df-fzo 9608  df-iseq 9907  df-seq3 9908
This theorem is referenced by:  serclim0  10747
  Copyright terms: Public domain W3C validator