Theorem ser0f 10464

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
ser0f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Proof of Theorem ser0f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser0.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	ser0 10463	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = 0 )
3		c0ex 7907	. . . . 5 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5710	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
5	2, 4	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2523	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k )
7		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		id 19	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
9	1	eleq2i 2237	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
10		0cnd 7906	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z -> 0 e. CC )
11	4, 10	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
12	9, 11	sylbir 134	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
13	12	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
14	7, 8, 13	serf 10423	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
15	14	ffnd 5346	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
16	1	fneq2i 5291	. . . 4 |- ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z <-> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
17	15, 16	sylibr 133	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z )
18	3	fconst 5391	. . . 4 |- ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 }
19		ffn 5345	. . . 4 |- ( ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 } -> ( Z X. { 0 } ) Fn Z )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( Z X. { 0 } ) Fn Z
21		eqfnfv 5591	. . 3 |- ( ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z /\ ( Z X. { 0 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
22	17, 20, 21	sylancl 411	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
23	6, 22	mpbiri 167	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {csn 3581   X. cxp 4607   Fn wfn 5191   -->wf 5192   ` cfv 5196   CCcc 7765   0cc0 7767   + caddc 7770   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480   seqcseq 10394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395

This theorem is referenced by:  serclim0  11261