Theorem ser0f 10529

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
ser0f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Proof of Theorem ser0f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser0.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	ser0 10528	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = 0 )
3		c0ex 7965	. . . . 5 |- 0 e. _V
4	3	fvconst2 5745	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
5	2, 4	eqtr4d 2223	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2540	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k )
7		eqid 2187	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
8		id 19	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
9	1	eleq2i 2254	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
10		0cnd 7964	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z -> 0 e. CC )
11	4, 10	eqeltrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
12	9, 11	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
14	7, 8, 13	serf 10488	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) : ( ZZ>= ` M ) --> CC )
15	14	ffnd 5378	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
16	1	fneq2i 5323	. . . 4 |- ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z <-> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
17	15, 16	sylibr 134	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z )
18	3	fconst 5423	. . . 4 |- ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 }
19		ffn 5377	. . . 4 |- ( ( Z X. { 0 } ) : Z --> { 0 } -> ( Z X. { 0 } ) Fn Z )
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( Z X. { 0 } ) Fn Z
21		eqfnfv 5626	. . 3 |- ( ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) Fn Z /\ ( Z X. { 0 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
22	17, 20, 21	sylancl 413	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) ) )
23	6, 22	mpbiri 168	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) = ( Z X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   {csn 3604   X. cxp 4636   Fn wfn 5223   -->wf 5224   ` cfv 5228   CCcc 7823   0cc0 7825   + caddc 7828   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542   seqcseq 10459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460

This theorem is referenced by:  serclim0  11327