Theorem fzo0to2pr 10509

Description: A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to2pr	|- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }

Proof of Theorem fzo0to2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9551	. . 3 |- 2 e. ZZ
2		fzoval 10428	. . 3 |- ( 2 e. ZZ -> ( 0..^ 2 ) = ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 0..^ 2 ) = ( 0 ... ( 2 - 1 ) )
4		2m1e1 9303	. . . 4 |- ( 2 - 1 ) = 1
5		0p1e1 9299	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
6	4, 5	eqtr4i 2255	. . 3 |- ( 2 - 1 ) = ( 0 + 1 )
7	6	oveq2i 6039	. 2 |- ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
8		0z 9534	. . 3 |- 0 e. ZZ
9		fzpr 10357	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
10	5	preq2i 3756	. . . 4 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
11	9, 10	eqtrdi 2280	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , 1 } )
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , 1 }
13	3, 7, 12	3eqtri 2256	1 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cpr 3674  (class class class)co 6028   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   - cmin 8392   2c2 9236   ZZcz 9523   ...cfz 10288  ..^cfzo 10422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423

This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  10511  s2dmg  11420  bitsinv1lem  12585  upgr2wlkdc  16301