Theorem fzo0to2pr 10243

Description: A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to2pr	|- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }

Proof of Theorem fzo0to2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9306	. . 3 |- 2 e. ZZ
2		fzoval 10173	. . 3 |- ( 2 e. ZZ -> ( 0..^ 2 ) = ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 0..^ 2 ) = ( 0 ... ( 2 - 1 ) )
4		2m1e1 9062	. . . 4 |- ( 2 - 1 ) = 1
5		0p1e1 9058	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
6	4, 5	eqtr4i 2213	. . 3 |- ( 2 - 1 ) = ( 0 + 1 )
7	6	oveq2i 5903	. 2 |- ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
8		0z 9289	. . 3 |- 0 e. ZZ
9		fzpr 10102	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
10	5	preq2i 3688	. . . 4 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
11	9, 10	eqtrdi 2238	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , 1 } )
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , 1 }
13	3, 7, 12	3eqtri 2214	1 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cpr 3608  (class class class)co 5892   0cc0 7836   1c1 7837   + caddc 7839   - cmin 8153   2c2 8995   ZZcz 9278   ...cfz 10033  ..^cfzo 10167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-inn 8945  df-2 9003  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-fz 10034  df-fzo 10168

This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  10245