Theorem fzo0to2pr 10231

Description: A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to2pr	⊢ (0..^2) = {0, 1}

Proof of Theorem fzo0to2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9294	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		fzoval 10161	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
4		2m1e1 9050	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
5		0p1e1 9046	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
6	4, 5	eqtr4i 2211	. . 3 ⊢ (2 − 1) = (0 + 1)
7	6	oveq2i 5899	. 2 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
8		0z 9277	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzpr 10090	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
10	5	preq2i 3685	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	9, 10	eqtrdi 2236	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, 1})
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, 1}
13	3, 7, 12	3eqtri 2212	1 ⊢ (0..^2) = {0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  {cpr 3605  (class class class)co 5888  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   − cmin 8141  2c2 8983  ℤcz 9266  ...cfz 10021  ..^cfzo 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156

This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  10233