Theorem fzo0to3tp 10187

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	|- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9253	. . 3 |- 3 e. ZZ
2		fzoval 10116	. . 3 |- ( 3 e. ZZ -> ( 0..^ 3 ) = ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 0..^ 3 ) = ( 0 ... ( 3 - 1 ) )
4		3m1e2 9010	. . . 4 |- ( 3 - 1 ) = 2
5		2cn 8961	. . . . 5 |- 2 e. CC
6	5	addid2i 8074	. . . 4 |- ( 0 + 2 ) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2199	. . 3 |- ( 3 - 1 ) = ( 0 + 2 )
8	7	oveq2i 5876	. 2 |- ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 0 + 2 ) )
9		0z 9235	. . 3 |- 0 e. ZZ
10		fztp 10046	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } )
11		eqidd 2176	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> 0 = 0 )
12		0p1e1 9004	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 + 1 ) = 1 )
14	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 + 2 ) = 2 )
15	11, 13, 14	tpeq123d 3681	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 } )
16	10, 15	eqtrd 2208	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , 1 , 2 } )
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 |- ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , 1 , 2 }
18	3, 8, 17	3eqtri 2200	1 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2146   {ctp 3591  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   - cmin 8102   2c2 8941   3c3 8942   ZZcz 9224   ...cfz 9977  ..^cfzo 10110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-tp 3597  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978  df-fzo 10111

This theorem is referenced by: (None)