Theorem fzosplitsnm1 9986

Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsnm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Proof of Theorem fzosplitsnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 9335	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9174	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ax-1cn 7713	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		npcan 7971	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2145	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
7	3, 4, 6	sylancl 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
8	7	oveq2d 5790	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)))
9		eluzp1m1 9349	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
10	1	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		peano2zm 9092	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
12		uzid 9340	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
13		peano2uz 9378	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
14	10, 11, 12, 13	4syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
15		elfzuzb 9800	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) ↔ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1))))
16	9, 14, 15	sylanbrc 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)))
17		fzosplit 9954	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
18	16, 17	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
19	1, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
20	19	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
21		fzosn 9982	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
22	20, 21	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
23	22	uneq2d 3230	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
24	8, 18, 23	3eqtrd 2176	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069  {csn 3527  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  1c1 7621   + caddc 7623   − cmin 7933  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  ..^cfzo 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920

This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  9987