Theorem grpsubcl 13284

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 13283	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 6070	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   × cxp 4662  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705  Grpcgrp 13204  -_gcsg 13206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-inn 9010  df-2 9068  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-sbg 13209

This theorem is referenced by:  grpsubsub  13293  grpsubsub4  13297  grpnpncan  13299  grpnnncan2  13301  dfgrp3m  13303  nsgconj  13414  0nsg  13422  nsgid  13423  ghmnsgpreima  13477  ghmeqker  13479  ghmf1  13481  kerf1ghm  13482  conjghm  13484  conjnmz  13487  conjnmzb  13488  abladdsub4  13522  abladdsub  13523  ablpncan3  13525  ablsubsub4  13527  ablpnpcan  13528  ablnnncan  13531  ablnnncan1  13532  aprcotr  13919  lmodvsubcl  13966  2idlcpblrng  14157