Theorem znegcld 9499

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
znegcld	|- ( ph -> -u A e. ZZ )

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		znegcl 9405	. 2 |- ( A e. ZZ -> -u A e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> -u A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   -ucneg 8246   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-z 9375

This theorem is referenced by:  infssuzex  10378  zsupssdc  10383  ceilqval  10453  ceiqcl  10454  exp3val  10688  expnegap0  10694  expaddzaplem  10729  seq3shft  11182  nn0abscl  11429  climshft2  11650  fsumshftm  11789  eftlub  12034  zdvdsdc  12156  dvdsadd2b  12184  divalglemex  12266  divalglemeuneg  12267  bitscmp  12302  gcdaddm  12338  modgcd  12345  pcneg  12681  gznegcl  12731  gzcjcl  12732  4sqlem10  12743  4sqexercise1  12754  4sqexercise2  12755  4sqlemsdc  12756  mulgfng  13493  mulgdirlem  13522  mulgdir  13523  mulgmodid  13530  subgmulg  13557  wilthlem1  15485  lgsval  15514  lgseisenlem2  15581  lgseisen  15584  2sqlem4  15628