Theorem znegcld 9594

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
znegcld	|- ( ph -> -u A e. ZZ )

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		znegcl 9500	. 2 |- ( A e. ZZ -> -u A e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> -u A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   -ucneg 8341   ZZcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-z 9470

This theorem is referenced by:  infssuzex  10483  zsupssdc  10488  ceilqval  10558  ceiqcl  10559  exp3val  10793  expnegap0  10799  expaddzaplem  10834  seq3shft  11389  nn0abscl  11636  climshft2  11857  fsumshftm  11996  eftlub  12241  zdvdsdc  12363  dvdsadd2b  12391  divalglemex  12473  divalglemeuneg  12474  bitscmp  12509  gcdaddm  12545  modgcd  12552  pcneg  12888  gznegcl  12938  gzcjcl  12939  4sqlem10  12950  4sqexercise1  12961  4sqexercise2  12962  4sqlemsdc  12963  mulgfng  13701  mulgdirlem  13730  mulgdir  13731  mulgmodid  13738  subgmulg  13765  wilthlem1  15694  lgsval  15723  lgseisenlem2  15790  lgseisen  15793  2sqlem4  15837