Theorem absimle 10996

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	|- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 8081	. . . . 5 |- -u _i e. CC
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u _i e. CC )
3		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
4	2, 3	mulcld 7901	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
5		absrele 10995	. . 3 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) <_ ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) <_ ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
7		imre 10763	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )
8	7	fveq2d 5475	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) )
9		absmul 10981	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) )
10	1, 9	mpan 421	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) )
11		ax-icn 7830	. . . . . . 7 |- _i e. CC
12		absneg 10962	. . . . . . 7 |- ( _i e. CC -> ( abs ` -u _i ) = ( abs ` _i ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( abs ` -u _i ) = ( abs ` _i )
14		absi 10971	. . . . . 6 |- ( abs ` _i ) = 1
15	13, 14	eqtri 2178	. . . . 5 |- ( abs ` -u _i ) = 1
16	15	oveq1i 5837	. . . 4 |- ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. ( abs ` A ) )
17		abscl 10963	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
18	17	recnd 7909	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC )
19	18	mulid2d 7899	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
20	16, 19	syl5eq 2202	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
21	10, 20	eqtr2d 2191	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
22	6, 8, 21	3brtr4d 3999	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ` cfv 5173  (class class class)co 5827   CCcc 7733   1c1 7736   _ici 7737   x. cmul 7740   <_ cle 7916   -ucneg 8052   Recre 10752   Imcim 10753   abscabs 10909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-frec 6341  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-rp 9568  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911

This theorem is referenced by:  imcn2  11227  climcvg1nlem  11258  sin01bnd  11666  rpabscxpbnd  13355