Theorem absimle 11048

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	|- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` A ) )

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 8120	. . . . 5 |- -u _i e. CC
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u _i e. CC )
3		id 19	. . . 4 |- ( A e. CC -> A e. CC )
4	2, 3	mulcld 7940	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
5		absrele 11047	. . 3 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) <_ ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) <_ ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
7		imre 10815	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( -u _i x. A ) ) )
8	7	fveq2d 5500	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) = ( abs ` ( Re ` ( -u _i x. A ) ) ) )
9		absmul 11033	. . . 4 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) )
10	1, 9	mpan 422	. . 3 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( -u _i x. A ) ) = ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) )
11		ax-icn 7869	. . . . . . 7 |- _i e. CC
12		absneg 11014	. . . . . . 7 |- ( _i e. CC -> ( abs ` -u _i ) = ( abs ` _i ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( abs ` -u _i ) = ( abs ` _i )
14		absi 11023	. . . . . 6 |- ( abs ` _i ) = 1
15	13, 14	eqtri 2191	. . . . 5 |- ( abs ` -u _i ) = 1
16	15	oveq1i 5863	. . . 4 |- ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. ( abs ` A ) )
17		abscl 11015	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
18	17	recnd 7948	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. CC )
19	18	mulid2d 7938	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
20	16, 19	eqtrid 2215	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` -u _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( abs ` A ) )
21	10, 20	eqtr2d 2204	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) = ( abs ` ( -u _i x. A ) ) )
22	6, 8, 21	3brtr4d 4021	1 |- ( A e. CC -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   1c1 7775   _ici 7776   x. cmul 7779   <_ cle 7955   -ucneg 8091   Recre 10804   Imcim 10805   abscabs 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963

This theorem is referenced by:  imcn2  11281  climcvg1nlem  11312  sin01bnd  11720  rpabscxpbnd  13653