Theorem imre 11348

Description: The imaginary part of a complex number in terms of the real part function. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imre	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))

Proof of Theorem imre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imval 11347	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(𝐴 / i)))
2		ax-icn 8082	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		iap0 9322	. . . . 5 ⊢ i # 0
4		divrecap2 8824	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i # 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
5	2, 3, 4	mp3an23 1363	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
6		irec 10848	. . . . 5 ⊢ (1 / i) = -i
7	6	oveq1i 6004	. . . 4 ⊢ ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
8	5, 7	eqtrdi 2278	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (-i · 𝐴))
9	8	fveq2d 5627	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 / i)) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
10	1, 9	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  0cc0 7987  1c1 7988  ici 7989   · cmul 7992  -cneg 8306   # cap 8716   / cdiv 8807  ℜcre 11337  ℑcim 11338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-2 9157  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341

This theorem is referenced by:  imcl  11351  absimle  11581  recan  11606