Theorem imval 10347

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Proof of Theorem imval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		ax-icn 7503	. . . . . 6 |- _i e. CC
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
4		iap0 8702	. . . . . 6 |- _i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i # 0 )
6	1, 3, 5	divclapd 8320	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / _i ) e. CC )
7		reval 10346	. . . 4 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
9		cjcl 10345	. . . . . 6 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
11	6, 10	addcld 7570	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) e. CC )
12	11	halfcld 8723	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) e. CC )
13	8, 12	eqeltrd 2165	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC )
14		oveq1 5675	. . . 4 |- ( x = A -> ( x / _i ) = ( A / _i ) )
15	14	fveq2d 5324	. . 3 |- ( x = A -> ( Re ` ( x / _i ) ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
16		df-im 10341	. . 3 |- Im = ( x e. CC |-> ( Re ` ( x / _i ) ) )
17	15, 16	fvmptg 5395	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC ) -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
18	13, 17	mpdan 413	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3853   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   0cc0 7413   _ici 7415   + caddc 7416   # cap 8121   / cdiv 8202   2c2 8536   *ccj 10336   Recre 10337   Imcim 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-2 8544  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341

This theorem is referenced by:  imre  10348  reim  10349  imf  10353  crim  10355