Theorem imval 10861

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Proof of Theorem imval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		ax-icn 7908	. . . . . 6 |- _i e. CC
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
4		iap0 9144	. . . . . 6 |- _i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i # 0 )
6	1, 3, 5	divclapd 8749	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / _i ) e. CC )
7		reval 10860	. . . 4 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
9		cjcl 10859	. . . . . 6 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
11	6, 10	addcld 7979	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) e. CC )
12	11	halfcld 9165	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) e. CC )
13	8, 12	eqeltrd 2254	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC )
14		oveq1 5884	. . . 4 |- ( x = A -> ( x / _i ) = ( A / _i ) )
15	14	fveq2d 5521	. . 3 |- ( x = A -> ( Re ` ( x / _i ) ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
16		df-im 10855	. . 3 |- Im = ( x e. CC |-> ( Re ` ( x / _i ) ) )
17	15, 16	fvmptg 5594	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC ) -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
18	13, 17	mpdan 421	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   _ici 7815   + caddc 7816   # cap 8540   / cdiv 8631   2c2 8972   *ccj 10850   Recre 10851   Imcim 10852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-2 8980  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855

This theorem is referenced by:  imre  10862  reim  10863  imf  10867  crim  10869