Theorem imval 11401

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Proof of Theorem imval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		ax-icn 8117	. . . . . 6 |- _i e. CC
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
4		iap0 9357	. . . . . 6 |- _i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i # 0 )
6	1, 3, 5	divclapd 8960	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / _i ) e. CC )
7		reval 11400	. . . 4 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
9		cjcl 11399	. . . . . 6 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
11	6, 10	addcld 8189	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) e. CC )
12	11	halfcld 9379	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) e. CC )
13	8, 12	eqeltrd 2306	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC )
14		oveq1 6020	. . . 4 |- ( x = A -> ( x / _i ) = ( A / _i ) )
15	14	fveq2d 5639	. . 3 |- ( x = A -> ( Re ` ( x / _i ) ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
16		df-im 11395	. . 3 |- Im = ( x e. CC |-> ( Re ` ( x / _i ) ) )
17	15, 16	fvmptg 5718	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC ) -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
18	13, 17	mpdan 421	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   0cc0 8022   _ici 8024   + caddc 8025   # cap 8751   / cdiv 8842   2c2 9184   *ccj 11390   Recre 11391   Imcim 11392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-2 9192  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395

This theorem is referenced by:  imre  11402  reim  11403  imf  11407  crim  11409