Theorem imval 11103

Description: The value of the imaginary part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
imval	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Proof of Theorem imval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. CC )
2		ax-icn 8019	. . . . . 6 |- _i e. CC
3	2	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i e. CC )
4		iap0 9259	. . . . . 6 |- _i # 0
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. CC -> _i # 0 )
6	1, 3, 5	divclapd 8862	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A / _i ) e. CC )
7		reval 11102	. . . 4 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) = ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) )
9		cjcl 11101	. . . . . 6 |- ( ( A / _i ) e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( * ` ( A / _i ) ) e. CC )
11	6, 10	addcld 8091	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) e. CC )
12	11	halfcld 9281	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( A / _i ) + ( * ` ( A / _i ) ) ) / 2 ) e. CC )
13	8, 12	eqeltrd 2281	. 2 |- ( A e. CC -> ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC )
14		oveq1 5950	. . . 4 |- ( x = A -> ( x / _i ) = ( A / _i ) )
15	14	fveq2d 5579	. . 3 |- ( x = A -> ( Re ` ( x / _i ) ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
16		df-im 11097	. . 3 |- Im = ( x e. CC |-> ( Re ` ( x / _i ) ) )
17	15, 16	fvmptg 5654	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` ( A / _i ) ) e. CC ) -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )
18	13, 17	mpdan 421	1 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) = ( Re ` ( A / _i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   0cc0 7924   _ici 7926   + caddc 7927   # cap 8653   / cdiv 8744   2c2 9086   *ccj 11092   Recre 11093   Imcim 11094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-2 9094  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097

This theorem is referenced by:  imre  11104  reim  11105  imf  11109  crim  11111