Theorem hashcl 10763

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	|- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

Proof of Theorem hashcl

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6763	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprl 529	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
4		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
5	4	ensymd 6785	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~~ A )
6		hashennn 10762	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ n ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
8		0zd 9267	. . . . . 6 |- ( n e. om -> 0 e. ZZ )
9		eqid 2177	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
10		id 19	. . . . . 6 |- ( n e. om -> n e. om )
11	8, 9, 10	frec2uzuzd 10404	. . . . 5 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12		nn0uz 9564	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
13	11, 12	eleqtrrdi 2271	. . . 4 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
15	7, 14	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
16	2, 15	rexlimddv 2599	1 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   omcom 4591   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  freccfrec 6393   ~~ cen 6740   Fincfn 6742   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530  ♯chash 10757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-ihash 10758

This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  10764  filtinf  10773  isfinite4im  10774  fihashneq0  10776  hashnncl  10777  fihashssdif  10800  hashdifpr  10802  hashxp  10808  zfz1isolemsplit  10820  zfz1isolemiso  10821  zfz1isolem1  10822  fz1f1o  11385  fsumconst  11464  hashiun  11488  hash2iun1dif1  11490  fprodconst  11630  phival  12215  phicl2  12216  phiprmpw  12224  sumhashdc  12347  hashfinmndnn  12838