Theorem hashcl 10890

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	|- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

Proof of Theorem hashcl

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6829	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprl 529	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
4		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
5	4	ensymd 6851	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~~ A )
6		hashennn 10889	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ n ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
8		0zd 9355	. . . . . 6 |- ( n e. om -> 0 e. ZZ )
9		eqid 2196	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
10		id 19	. . . . . 6 |- ( n e. om -> n e. om )
11	8, 9, 10	frec2uzuzd 10511	. . . . 5 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12		nn0uz 9653	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
13	11, 12	eleqtrrdi 2290	. . . 4 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
15	7, 14	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
16	2, 15	rexlimddv 2619	1 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   omcom 4627   ` cfv 5259  (class class class)co 5925  freccfrec 6457   ~~ cen 6806   Fincfn 6808   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618  ♯chash 10884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-ihash 10885

This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  10891  filtinf  10900  isfinite4im  10901  fihashneq0  10903  hashnncl  10904  fihashssdif  10927  hashdifpr  10929  hashxp  10935  zfz1isolemsplit  10947  zfz1isolemiso  10948  zfz1isolem1  10949  fz1f1o  11557  fsumconst  11636  hashiun  11660  hash2iun1dif1  11662  fprodconst  11802  phival  12406  phicl2  12407  phiprmpw  12415  sumhashdc  12541  4sqlem11  12595  hashfinmndnn  13134  0sgm  15305  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404