Theorem hashcl 11242

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	|- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

Proof of Theorem hashcl

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7051	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprl 535	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
4		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
5	4	ensymd 7074	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~~ A )
6		hashennn 11241	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ n ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
8		0zd 9667	. . . . . 6 |- ( n e. om -> 0 e. ZZ )
9		eqid 2238	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
10		id 19	. . . . . 6 |- ( n e. om -> n e. om )
11	8, 9, 10	frec2uzuzd 10860	. . . . 5 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12		nn0uz 9973	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
13	11, 12	eleqtrrdi 2332	. . . 4 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
15	7, 14	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
16	2, 15	rexlimddv 2673	1 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   omcom 4739   ` cfv 5380  (class class class)co 6088  freccfrec 6665   ~~ cen 7024   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937  ♯chash 11236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-ihash 11237

This theorem is used by:  hashfiv01gt1  11243  filtinf  11252  isfinite4im  11253  fihashneq0  11255  hashnncl  11256  fihashssdif  11281  hashdifpr  11283  hashxp  11289  hashmap  11290  sshashneg  11303  hashfibclem  11304  hashf1lem2  11308  hashf1  11309  hashfac  11310  zfz1isolemsplit  11312  zfz1isolemiso  11313  zfz1isolem1  11314  ccatfvalfi  11382  ccatval2  11388  fz1f1o  12166  fsumconst  12246  hashiun  12270  hash2iun1dif1  12272  fprodconst  12412  phival  13020  phicl2  13021  phiprmpw  13029  sumhashdc  13155  4sqlem11  13209  ballotfilemofi  13277  ballotfilem2  13286  ballotfilemfval  13287  ballotfilemfelz  13288  ballotfilemfp1  13289  ballotfilemgval  13325  ballotfilemgun  13326  ballotfilemth  13339  hashfinmndnn  13804  gsumvalfi  14242  gsump1  14247  gsumf1ofi  14250  gsummhmfi  14264  gsumconstcmn  14266  gsumressfi  14267  birthdaylog2  16228  ppiqval  16248  ppiqcl  16251  0sgm  16254  ppidif  16269  ppiqub  16293  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  vtxdgfifival  16737  vtxdgfif  16739  vtxdfifiun  16743  vtxdumgrfival  16744  vtxd0nedgbfi  16745  konigsberglem5  16938