Theorem hashcl 11003

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	|- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

Proof of Theorem hashcl

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6912	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprl 529	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
4		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
5	4	ensymd 6935	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~~ A )
6		hashennn 11002	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ n ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
8		0zd 9458	. . . . . 6 |- ( n e. om -> 0 e. ZZ )
9		eqid 2229	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
10		id 19	. . . . . 6 |- ( n e. om -> n e. om )
11	8, 9, 10	frec2uzuzd 10624	. . . . 5 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12		nn0uz 9757	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
13	11, 12	eleqtrrdi 2323	. . . 4 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
15	7, 14	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
16	2, 15	rexlimddv 2653	1 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   omcom 4682   ` cfv 5318  (class class class)co 6001  freccfrec 6536   ~~ cen 6885   Fincfn 6887   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722  ♯chash 10997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-ihash 10998

This theorem is referenced by:  hashfiv01gt1  11004  filtinf  11013  isfinite4im  11014  fihashneq0  11016  hashnncl  11017  fihashssdif  11040  hashdifpr  11042  hashxp  11048  zfz1isolemsplit  11060  zfz1isolemiso  11061  zfz1isolem1  11062  ccatfvalfi  11127  ccatval2  11133  fz1f1o  11886  fsumconst  11965  hashiun  11989  hash2iun1dif1  11991  fprodconst  12131  phival  12735  phicl2  12736  phiprmpw  12744  sumhashdc  12870  4sqlem11  12924  hashfinmndnn  13465  0sgm  15659  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  lgsquadlem3  15758