Theorem hashcl 11241

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	|- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

Proof of Theorem hashcl

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7053	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3		simprl 535	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n e. om )
4		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> A ~~ n )
5	4	ensymd 7076	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> n ~~ A )
6		hashennn 11240	. . . 4 |- ( ( n e. om /\ n ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) )
8		0zd 9665	. . . . . 6 |- ( n e. om -> 0 e. ZZ )
9		eqid 2238	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
10		id 19	. . . . . 6 |- ( n e. om -> n e. om )
11	8, 9, 10	frec2uzuzd 10859	. . . . 5 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12		nn0uz 9972	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
13	11, 12	eleqtrrdi 2332	. . . 4 |- ( n e. om -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` n ) e. NN0 )
15	7, 14	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
16	2, 15	rexlimddv 2673	1 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   omcom 4739   ` cfv 5380  (class class class)co 6088  freccfrec 6666   ~~ cen 7026   Fincfn 7028   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   NN0cn0 9574   ZZcz 9653   ZZ>=cuz 9936  ♯chash 11235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6581  df-frec 6667  df-er 6812  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-ihash 11236

This theorem is used by:  hashfiv01gt1  11242  filtinf  11251  isfinite4im  11252  fihashneq0  11254  hashnncl  11255  fihashssdif  11280  hashdifpr  11282  hashxp  11288  hashmap  11289  sshashneg  11302  hashfibclem  11303  hashf1lem2  11307  hashf1  11308  hashfac  11309  zfz1isolemsplit  11311  zfz1isolemiso  11312  zfz1isolem1  11313  ccatfvalfi  11381  ccatval2  11387  fz1f1o  12165  fsumconst  12245  hashiun  12269  hash2iun1dif1  12271  fprodconst  12411  phival  13019  phicl2  13020  phiprmpw  13028  sumhashdc  13154  4sqlem11  13208  ballotfilemofi  13276  ballotfilem2  13285  ballotfilemfval  13286  ballotfilemfelz  13287  ballotfilemfp1  13288  ballotfilemgval  13324  ballotfilemgun  13325  ballotfilemth  13338  hashfinmndnn  13803  gsumvalfi  14241  gsump1  14246  gsumf1ofi  14249  gsummhmfi  14263  gsumconstcmn  14265  gsumressfi  14266  birthdaylog2  16245  ppiqval  16265  ppiqcl  16268  0sgm  16271  ppidif  16286  ppiqub  16310  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  vtxdgfifival  16754  vtxdgfif  16756  vtxdfifiun  16760  vtxdumgrfival  16761  vtxd0nedgbfi  16762  konigsberglem5  16955