Theorem lmodsubvs 14149

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodsubvs.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
lmodsubvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubvs.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubvs.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubvs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
4		lmodsubvs.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 14111	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11		lmodsubvs.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lmodsubvs.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
13		lmodsubvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
14		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 14148	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
17	6	lmodring 14101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
19		ringgrp 13807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
21	8, 14	ringidcl 13826	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
22	18, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
23	8, 13	grpinvcl 13424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
25		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 14119	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 13857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = (𝑁‘𝐴))
29	28	oveq1d 5966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
30	27, 29	eqtr3d 2241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
31	30	oveq2d 5967	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32	16, 31	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  ._rcmulr 12954  Scalarcsca 12956   ·_𝑠 cvsca 12957  Grpcgrp 13376  inv_gcminusg 13377  -_gcsg 13378  1_rcur 13765  Ringcrg 13802  LModclmod 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804  df-lmod 14095

This theorem is referenced by: (None)