Theorem lmodsubvs 13842

Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodsubvs.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubvs.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubvs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
lmodsubvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubvs.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubvs	⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubvs.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubvs.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubvs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
4		lmodsubvs.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		lmodsubvs.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lmodsubvs.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		lmodsubvs.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		lmodsubvs.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	5, 6, 7, 8	lmodvscl 13804	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11		lmodsubvs.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		lmodsubvs.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
13		lmodsubvs.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐹)
14		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
15	5, 11, 12, 6, 7, 13, 14	lmodvsubval2 13841	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
16	1, 2, 10, 15	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
17	6	lmodring 13794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
19		ringgrp 13500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
21	8, 14	ringidcl 13519	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
22	18, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
23	8, 13	grpinvcl 13123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
25		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
26	5, 6, 7, 8, 25	lmodvsass 13812	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
27	1, 24, 3, 4, 26	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
28	8, 25, 14, 13, 18, 3	ringnegl 13550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = (𝑁‘𝐴))
29	28	oveq1d 5934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
30	27, 29	eqtr3d 2228	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
31	30	oveq2d 5935	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32	16, 31	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  Scalarcsca 12701   ·_𝑠 cvsca 12702  Grpcgrp 13075  inv_gcminusg 13076  -_gcsg 13077  1_rcur 13458  Ringcrg 13495  LModclmod 13786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-lmod 13788

This theorem is referenced by: (None)