ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodvsneg GIF version

Theorem lmodvsneg 13614
Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsneg.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsneg.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsneg.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
lmodvsneg.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsneg.m 𝑀 = (invgβ€˜πΉ)
lmodvsneg.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodvsneg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
lmodvsneg.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
lmodvsneg (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑅 Β· 𝑋)) = ((π‘€β€˜π‘…) Β· 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsneg
StepHypRef Expression
1 lmodvsneg.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodvsneg.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 13578 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
41, 3syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
5 ringgrp 13322 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7 lmodvsneg.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
8 eqid 2189 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
97, 8ringidcl 13341 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
104, 9syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
11 lmodvsneg.m . . . . 5 𝑀 = (invgβ€˜πΉ)
127, 11grpinvcl 12964 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ (π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
136, 10, 12syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
14 lmodvsneg.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
15 lmodvsneg.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 lmodvsneg.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
17 lmodvsneg.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
18 eqid 2189 . . . 4 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
1916, 2, 17, 7, 18lmodvsass 13596 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
201, 13, 14, 15, 19syl13anc 1251 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
217, 18, 8, 11, 4, 14ringnegl 13370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝑅) = (π‘€β€˜π‘…))
2221oveq1d 5906 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((π‘€β€˜π‘…) Β· 𝑋))
2316, 2, 17, 7lmodvscl 13588 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
241, 14, 15, 23syl3anc 1249 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
25 lmodvsneg.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
2616, 25, 2, 17, 8, 11lmodvneg1 13613 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝑅 Β· 𝑋)) = (π‘β€˜(𝑅 Β· 𝑋)))
271, 24, 26syl2anc 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝑅 Β· 𝑋)) = (π‘β€˜(𝑅 Β· 𝑋)))
2820, 22, 273eqtr3rd 2231 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑅 Β· 𝑋)) = ((π‘€β€˜π‘…) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12486  .rcmulr 12562  Scalarcsca 12564   ·𝑠 cvsca 12565  Grpcgrp 12917  invgcminusg 12918  1rcur 13280  Ringcrg 13317  LModclmod 13570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-sca 12577  df-vsca 12578  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-mgp 13242  df-ur 13281  df-ring 13319  df-lmod 13572
This theorem is referenced by:  lmodnegadd  13619
  Copyright terms: Public domain W3C validator