Theorem lmodvsneg 13887

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsneg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsneg.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsneg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
lmodvsneg.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvsneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lmodvsneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsneg	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsneg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvsneg.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 13851	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		ringgrp 13557	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
7		lmodvsneg.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	7, 8	ringidcl 13576	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
10	4, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11		lmodvsneg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
12	7, 11	grpinvcl 13180	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
13	6, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
14		lmodvsneg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
15		lmodvsneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		lmodvsneg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		lmodvsneg.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 13869	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1251	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 13607	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) = (𝑀‘𝑅))
22	21	oveq1d 5937	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 13861	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	1, 14, 15, 23	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25		lmodvsneg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
26	16, 25, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 13886	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
27	1, 24, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
28	20, 22, 27	3eqtr3rd 2238	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  ._rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  Grpcgrp 13132  inv_gcminusg 13133  1_rcur 13515  Ringcrg 13552  LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845

This theorem is referenced by:  lmodnegadd  13892