Theorem lmodvsneg 14316

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsneg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsneg.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsneg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
lmodvsneg.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvsneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lmodvsneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsneg	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsneg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvsneg.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 14280	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		ringgrp 13985	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
7		lmodvsneg.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	7, 8	ringidcl 14004	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
10	4, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11		lmodvsneg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
12	7, 11	grpinvcl 13602	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
13	6, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
14		lmodvsneg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
15		lmodvsneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		lmodvsneg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		lmodvsneg.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 14298	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 14035	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) = (𝑀‘𝑅))
22	21	oveq1d 6025	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 14290	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	1, 14, 15, 23	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25		lmodvsneg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
26	16, 25, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 14315	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
27	1, 24, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
28	20, 22, 27	3eqtr3rd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  ._rcmulr 13132  Scalarcsca 13134   ·_𝑠 cvsca 13135  Grpcgrp 13554  inv_gcminusg 13555  1_rcur 13943  Ringcrg 13980  LModclmod 14272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-ring 13982  df-lmod 14274

This theorem is referenced by:  lmodnegadd  14321