ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodvsneg GIF version

Theorem lmodvsneg 13484
Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsneg.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsneg.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsneg.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
lmodvsneg.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsneg.m 𝑀 = (invgβ€˜πΉ)
lmodvsneg.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodvsneg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
lmodvsneg.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
lmodvsneg (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑅 Β· 𝑋)) = ((π‘€β€˜π‘…) Β· 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsneg
StepHypRef Expression
1 lmodvsneg.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodvsneg.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 13448 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
41, 3syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
5 ringgrp 13238 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
64, 5syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
7 lmodvsneg.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
8 eqid 2187 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
97, 8ringidcl 13257 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
104, 9syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
11 lmodvsneg.m . . . . 5 𝑀 = (invgβ€˜πΉ)
127, 11grpinvcl 12942 . . . 4 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ (π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
136, 10, 12syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
14 lmodvsneg.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
15 lmodvsneg.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 lmodvsneg.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
17 lmodvsneg.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
18 eqid 2187 . . . 4 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
1916, 2, 17, 7, 18lmodvsass 13466 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
201, 13, 14, 15, 19syl13anc 1250 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝑅 Β· 𝑋)))
217, 18, 8, 11, 4, 14ringnegl 13286 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝑅) = (π‘€β€˜π‘…))
2221oveq1d 5903 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((π‘€β€˜π‘…) Β· 𝑋))
2316, 2, 17, 7lmodvscl 13458 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
241, 14, 15, 23syl3anc 1248 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
25 lmodvsneg.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
2616, 25, 2, 17, 8, 11lmodvneg1 13483 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝑅 Β· 𝑋)) = (π‘β€˜(𝑅 Β· 𝑋)))
271, 24, 26syl2anc 411 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝑅 Β· 𝑋)) = (π‘β€˜(𝑅 Β· 𝑋)))
2820, 22, 273eqtr3rd 2229 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝑅 Β· 𝑋)) = ((π‘€β€˜π‘…) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  .rcmulr 12551  Scalarcsca 12553   ·𝑠 cvsca 12554  Grpcgrp 12896  invgcminusg 12897  1rcur 13196  Ringcrg 13233  LModclmod 13440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13442
This theorem is referenced by:  lmodnegadd  13489
  Copyright terms: Public domain W3C validator