Theorem lmodvsneg 14407

Description: Multiplication of a vector by a negated scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsneg.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsneg.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsneg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsneg.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
lmodvsneg.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvsneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lmodvsneg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsneg	⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsneg.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvsneg.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 14371	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
5		ringgrp 14076	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
7		lmodvsneg.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	7, 8	ringidcl 14095	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
10	4, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11		lmodvsneg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
12	7, 11	grpinvcl 13692	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
13	6, 10, 12	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
14		lmodvsneg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
15		lmodvsneg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		lmodvsneg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17		lmodvsneg.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
19	16, 2, 17, 7, 18	lmodvsass 14389	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
20	1, 13, 14, 15, 19	syl13anc 1276	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)))
21	7, 18, 8, 11, 4, 14	ringnegl 14126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) = (𝑀‘𝑅))
22	21	oveq1d 6043	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))
23	16, 2, 17, 7	lmodvscl 14381	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	1, 14, 15, 23	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
25		lmodvsneg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
26	16, 25, 2, 17, 8, 11	lmodvneg1 14406	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
27	1, 24, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(1r‘𝐹)) · (𝑅 · 𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))
28	20, 22, 27	3eqtr3rd 2273	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = ((𝑀‘𝑅) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143  ._rcmulr 13222  Scalarcsca 13224   ·_𝑠 cvsca 13225  Grpcgrp 13644  inv_gcminusg 13645  1_rcur 14034  Ringcrg 14071  LModclmod 14363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-mgp 13996  df-ur 14035  df-ring 14073  df-lmod 14365

This theorem is referenced by:  lmodnegadd  14412