Theorem mapfi 7227

Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mapfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem mapfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐴 ↑𝑚 𝑤) = (𝐴 ↑𝑚 ∅))
2	1	eleq1d 2303	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐴 ↑𝑚 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ↑𝑚 ∅) ∈ Fin))
3		oveq2 6066	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐴 ↑𝑚 𝑤) = (𝐴 ↑𝑚 𝑦))
4	3	eleq1d 2303	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐴 ↑𝑚 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin))
5		oveq2 6066	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴 ↑𝑚 𝑤) = (𝐴 ↑𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})))
6	5	eleq1d 2303	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴 ↑𝑚 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ↑𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
7		oveq2 6066	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐴 ↑𝑚 𝑤) = (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
8	7	eleq1d 2303	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → ((𝐴 ↑𝑚 𝑤) ∈ Fin ↔ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ∈ Fin))
9		mapdm0 6910	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑𝑚 ∅) = {∅})
10		0ex 4242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11		snfig 7069	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
13	9, 12	eqeltrdi 2325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑𝑚 ∅) ∈ Fin)
14	13	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 ∅) ∈ Fin)
15		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin)
16		simp-4l 543	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
17		vex 2818	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
18	17	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ V)
19	16, 18	mapsnend 7065	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 {𝑧}) ≈ 𝐴)
20		enfii 7142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ↑𝑚 {𝑧}) ≈ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑚 {𝑧}) ∈ Fin)
21	16, 19, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 {𝑧}) ∈ Fin)
22		xpfi 7205	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin ∧ (𝐴 ↑𝑚 {𝑧}) ∈ Fin) → ((𝐴 ↑𝑚 𝑦) × (𝐴 ↑𝑚 {𝑧})) ∈ Fin)
23	15, 21, 22	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → ((𝐴 ↑𝑚 𝑦) × (𝐴 ↑𝑚 {𝑧})) ∈ Fin)
24		vex 2818	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
25	24	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → 𝑦 ∈ V)
26	17	snex 4303	. . . . . 6 ⊢ {𝑧} ∈ V
27	26	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → {𝑧} ∈ V)
28		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))
29	28	eldifbd 3226	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
30		disjsn 3756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
31	29, 30	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
32		mapunen 7117	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴 ↑𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑𝑚 𝑦) × (𝐴 ↑𝑚 {𝑧})))
33	25, 27, 16, 31, 32	syl31anc 1277	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑𝑚 𝑦) × (𝐴 ↑𝑚 {𝑧})))
34		enfii 7142	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ↑𝑚 𝑦) × (𝐴 ↑𝑚 {𝑧})) ∈ Fin ∧ (𝐴 ↑𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴 ↑𝑚 𝑦) × (𝐴 ↑𝑚 {𝑧}))) → (𝐴 ↑𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
35	23, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin)
36	35	ex 115	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝑦))) → ((𝐴 ↑𝑚 𝑦) ∈ Fin → (𝐴 ↑𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ Fin))
37		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
38	2, 4, 6, 8, 14, 36, 37	findcard2sd 7162	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∖ cdif 3211   ∪ cun 3212   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  {csn 3694   class class class wbr 4114   × cxp 4752  (class class class)co 6058   ↑_𝑚 cmap 6895   ≈ cen 6986  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  fipwfi  7285  hashmap  11217  hashpwfi  11218