Theorem mapunen 7117

Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapunen	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( C ^m ( A u. B ) ) ~~ ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) )

Proof of Theorem mapunen

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6902	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		simpl3 1029	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> C e. X )
3	2	elexd 2829	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> C e. _V )
4		simpl1 1027	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. V )
5		simpl2 1028	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. W )
6	4, 5	unexd 4872	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. _V )
7		fnovex 6091	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ ( A u. B ) e. _V ) -> ( C ^m ( A u. B ) ) e. _V )
8	1, 3, 6, 7	mp3an2i 1379	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( C ^m ( A u. B ) ) e. _V )
9	4	elexd 2829	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. _V )
10		fnovex 6091	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ A e. _V ) -> ( C ^m A ) e. _V )
11	1, 3, 9, 10	mp3an2i 1379	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( C ^m A ) e. _V )
12	5	elexd 2829	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. _V )
13		fnovex 6091	. . . 4 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ B e. _V ) -> ( C ^m B ) e. _V )
14	1, 3, 12, 13	mp3an2i 1379	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( C ^m B ) e. _V )
15	11, 14	xpexd 4870	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) e. _V )
16		elmapi 6917	. . . . 5 |- ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) -> x : ( A u. B ) --> C )
17		ssun1 3386	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
18		fssres 5545	. . . . 5 |- ( ( x : ( A u. B ) --> C /\ A C_ ( A u. B ) ) -> ( x |` A ) : A --> C )
19	16, 17, 18	sylancl 413	. . . 4 |- ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) -> ( x |` A ) : A --> C )
20		ssun2 3387	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
21		fssres 5545	. . . . 5 |- ( ( x : ( A u. B ) --> C /\ B C_ ( A u. B ) ) -> ( x |` B ) : B --> C )
22	16, 20, 21	sylancl 413	. . . 4 |- ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) -> ( x |` B ) : B --> C )
23	19, 22	jca 306	. . 3 |- ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) -> ( ( x |` A ) : A --> C /\ ( x |` B ) : B --> C ) )
24		opelxp 4784	. . . 4 |- ( <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) <-> ( ( x |` A ) e. ( C ^m A ) /\ ( x |` B ) e. ( C ^m B ) ) )
25	2, 4	elmapd 6909	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( x |` A ) e. ( C ^m A ) <-> ( x |` A ) : A --> C ) )
26	2, 5	elmapd 6909	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( x |` B ) e. ( C ^m B ) <-> ( x |` B ) : B --> C ) )
27	25, 26	anbi12d 473	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( x |` A ) e. ( C ^m A ) /\ ( x |` B ) e. ( C ^m B ) ) <-> ( ( x |` A ) : A --> C /\ ( x |` B ) : B --> C ) ) )
28	24, 27	bitrid 192	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) <-> ( ( x |` A ) : A --> C /\ ( x |` B ) : B --> C ) ) )
29	23, 28	imbitrrid 156	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) -> <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) )
30		xp1st 6372	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) -> ( 1st ` y ) e. ( C ^m A ) )
31	30	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) -> ( 1st ` y ) e. ( C ^m A ) )
32		elmapi 6917	. . . . . 6 |- ( ( 1st ` y ) e. ( C ^m A ) -> ( 1st ` y ) : A --> C )
33	31, 32	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) -> ( 1st ` y ) : A --> C )
34		xp2nd 6373	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) -> ( 2nd ` y ) e. ( C ^m B ) )
35	34	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) -> ( 2nd ` y ) e. ( C ^m B ) )
36		elmapi 6917	. . . . . 6 |- ( ( 2nd ` y ) e. ( C ^m B ) -> ( 2nd ` y ) : B --> C )
37	35, 36	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) -> ( 2nd ` y ) : B --> C )
38		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
39	33, 37, 38	fun2d 5543	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) -> ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) : ( A u. B ) --> C )
40	39	ex 115	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) -> ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) : ( A u. B ) --> C ) )
41	2, 6	elmapd 6909	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) e. ( C ^m ( A u. B ) ) <-> ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) : ( A u. B ) --> C ) )
42	40, 41	sylibrd 169	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) -> ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) e. ( C ^m ( A u. B ) ) ) )
43		1st2nd2 6382	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
44	43	ad2antll 491	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
45	33	adantrl 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( 1st ` y ) : A --> C )
46	37	adantrl 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( 2nd ` y ) : B --> C )
47		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
48		fresaunres1disj 5551	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st ` y ) : A --> C /\ ( 2nd ` y ) : B --> C /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` A ) = ( 1st ` y ) )
49	45, 46, 47, 48	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` A ) = ( 1st ` y ) )
50		fresaunres2disj 5550	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st ` y ) : A --> C /\ ( 2nd ` y ) : B --> C /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` B ) = ( 2nd ` y ) )
51	45, 46, 47, 50	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` B ) = ( 2nd ` y ) )
52	49, 51	opeq12d 3896	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> <. ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` A ) , ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` B ) >. = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
53	44, 52	eqtr4d 2270	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> y = <. ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` A ) , ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` B ) >. )
54		reseq1 5037	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) -> ( x |` A ) = ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` A ) )
55		reseq1 5037	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) -> ( x |` B ) = ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` B ) )
56	54, 55	opeq12d 3896	. . . . . 6 |- ( x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) -> <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. = <. ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` A ) , ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` B ) >. )
57	56	eqeq2d 2246	. . . . 5 |- ( x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) -> ( y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. <-> y = <. ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` A ) , ( ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) |` B ) >. ) )
58	53, 57	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) -> y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. ) )
59		ffn 5513	. . . . . . . 8 |- ( x : ( A u. B ) --> C -> x Fn ( A u. B ) )
60		fnresdm 5472	. . . . . . . 8 |- ( x Fn ( A u. B ) -> ( x |` ( A u. B ) ) = x )
61	16, 59, 60	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) -> ( x |` ( A u. B ) ) = x )
62	61	ad2antrl 490	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( x |` ( A u. B ) ) = x )
63	62	eqcomd 2240	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> x = ( x |` ( A u. B ) ) )
64		vex 2818	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
65	64	resex 5084	. . . . . . . . 9 |- ( x |` A ) e. _V
66	64	resex 5084	. . . . . . . . 9 |- ( x |` B ) e. _V
67	65, 66	op1std 6355	. . . . . . . 8 |- ( y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. -> ( 1st ` y ) = ( x |` A ) )
68	65, 66	op2ndd 6356	. . . . . . . 8 |- ( y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. -> ( 2nd ` y ) = ( x |` B ) )
69	67, 68	uneq12d 3378	. . . . . . 7 |- ( y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. -> ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) = ( ( x |` A ) u. ( x |` B ) ) )
70		resundi 5056	. . . . . . 7 |- ( x |` ( A u. B ) ) = ( ( x |` A ) u. ( x |` B ) )
71	69, 70	eqtr4di 2285	. . . . . 6 |- ( y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. -> ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) = ( x |` ( A u. B ) ) )
72	71	eqeq2d 2246	. . . . 5 |- ( y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. -> ( x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) <-> x = ( x |` ( A u. B ) ) ) )
73	63, 72	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. -> x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) ) )
74	58, 73	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) ) -> ( x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) <-> y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. ) )
75	74	ex 115	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( x e. ( C ^m ( A u. B ) ) /\ y e. ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) ) -> ( x = ( ( 1st ` y ) u. ( 2nd ` y ) ) <-> y = <. ( x |` A ) , ( x |` B ) >. ) ) )
76	8, 15, 29, 42, 75	en3d 7021	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( C ^m ( A u. B ) ) ~~ ( ( C ^m A ) X. ( C ^m B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3212   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   <.cop 3697   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   |` cres 4756   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1stc1st 6345   2ndc2nd 6346   ^m cmap 6895   ~~ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-en 6989

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