ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgpscag GIF version

Theorem mgpscag 13153
Description: The multiplication monoid has the same (if any) scalars as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
mgpsca.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpscag (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€))

Proof of Theorem mgpscag
StepHypRef Expression
1 mgpsca.s . 2 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
2 mulrslid 12593 . . . . 5 (.r = Slot (.rβ€˜ndx) ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
32slotex 12492 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
4 scaslid 12614 . . . . 5 (Scalar = Slot (Scalarβ€˜ndx) ∧ (Scalarβ€˜ndx) ∈ β„•)
5 scandxnplusgndx 12616 . . . . 5 (Scalarβ€˜ndx) β‰  (+gβ€˜ndx)
6 plusgslid 12574 . . . . . 6 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
76simpri 113 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) ∈ β„•
84, 5, 7setsslnid 12517 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.rβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)))
93, 8mpdan 421 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)))
10 mgpbas.1 . . . . 5 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
11 eqid 2177 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1210, 11mgpvalg 13149 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩))
1312fveq2d 5521 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘…)⟩)))
149, 13eqtr4d 2213 . 2 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘€))
151, 14eqtrid 2222 1 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  βŸ¨cop 3597  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„•cn 8922  ndxcnx 12462   sSet csts 12463  Slot cslot 12464  +gcplusg 12539  .rcmulr 12540  Scalarcsca 12542  mulGrpcmgp 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-mgp 13147
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator