Theorem mgpscag 13068

Description: The multiplication monoid has the same (if any) scalars as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsca.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpscag	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))

Proof of Theorem mgpscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsca.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
2		mulrslid 12582	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 12481	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4		scaslid 12603	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
5		scandxnplusgndx 12605	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6		plusgslid 12563	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8	4, 5, 7	setsslnid 12506	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
10		mgpbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpvalg 13064	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
13	12	fveq2d 5518	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
14	9, 13	eqtr4d 2213	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀))
15	1, 14	eqtrid 2222	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ⟨cop 3595  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  ℕcn 8915  ndxcnx 12451   sSet csts 12452  Slot cslot 12453  +_gcplusg 12528  ._rcmulr 12529  Scalarcsca 12531  mulGrpcmgp 13061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-sets 12461  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-sca 12544  df-mgp 13062

This theorem is referenced by: (None)