Theorem mgpscag 13930

Description: The multiplication monoid has the same (if any) scalars as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsca.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpscag	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))

Proof of Theorem mgpscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsca.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
2		mulrslid 13205	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	slotex 13099	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
4		scaslid 13226	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
5		scandxnplusgndx 13228	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
6		plusgslid 13185	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
7	6	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
8	4, 5, 7	setsslnid 13124	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (.r‘𝑅) ∈ V) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
9	3, 8	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
10		mgpbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpvalg 13926	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
13	12	fveq2d 5639	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)))
14	9, 13	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀))
15	1, 14	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = (Scalar‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ⟨cop 3670  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℕcn 9133  ndxcnx 13069   sSet csts 13070  Slot cslot 13071  +_gcplusg 13150  ._rcmulr 13151  Scalarcsca 13153  mulGrpcmgp 13923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-sca 13166  df-mgp 13924

This theorem is referenced by: (None)