Theorem modqadd12d 9848

Description: Additive property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd12d.1	|- ( ph -> A e. QQ )
modqadd12d.2	|- ( ph -> B e. QQ )
modqadd12d.3	|- ( ph -> C e. QQ )
modqadd12d.4	|- ( ph -> D e. QQ )
modqadd12d.5	|- ( ph -> E e. QQ )
modqadd12d.egt0	|- ( ph -> 0 < E )
modqadd12d.6	|- ( ph -> ( A mod E ) = ( B mod E ) )
modqadd12d.7	|- ( ph -> ( C mod E ) = ( D mod E ) )

Assertion

Ref	Expression
modqadd12d	|- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )

Proof of Theorem modqadd12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd12d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqadd12d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		modqadd12d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. QQ )
4		modqadd12d.5	. . 3 |- ( ph -> E e. QQ )
5		modqadd12d.egt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < E )
6		modqadd12d.6	. . 3 |- ( ph -> ( A mod E ) = ( B mod E ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	modqadd1 9829	. 2 |- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + C ) mod E ) )
8		qcn 9180	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
9	2, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
10		qcn 9180	. . . . . 6 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
12	9, 11	addcomd 7694	. . . 4 |- ( ph -> ( B + C ) = ( C + B ) )
13	12	oveq1d 5681	. . 3 |- ( ph -> ( ( B + C ) mod E ) = ( ( C + B ) mod E ) )
14		modqadd12d.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. QQ )
15		modqadd12d.7	. . . 4 |- ( ph -> ( C mod E ) = ( D mod E ) )
16	3, 14, 2, 4, 5, 15	modqadd1 9829	. . 3 |- ( ph -> ( ( C + B ) mod E ) = ( ( D + B ) mod E ) )
17		qcn 9180	. . . . . 6 |- ( D e. QQ -> D e. CC )
18	14, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
19	18, 9	addcomd 7694	. . . 4 |- ( ph -> ( D + B ) = ( B + D ) )
20	19	oveq1d 5681	. . 3 |- ( ph -> ( ( D + B ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )
21	13, 16, 20	3eqtrd 2125	. 2 |- ( ph -> ( ( B + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )
22	7, 21	eqtrd 2121	1 |- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   CCcc 7409   0cc0 7411   + caddc 7414   < clt 7583   QQcq 9165   mod cmo 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-q 9166  df-rp 9196  df-fl 9738  df-mod 9791

This theorem is referenced by:  modqsub12d  9849