Theorem modqadd12d 10547

Description: Additive property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd12d.1	|- ( ph -> A e. QQ )
modqadd12d.2	|- ( ph -> B e. QQ )
modqadd12d.3	|- ( ph -> C e. QQ )
modqadd12d.4	|- ( ph -> D e. QQ )
modqadd12d.5	|- ( ph -> E e. QQ )
modqadd12d.egt0	|- ( ph -> 0 < E )
modqadd12d.6	|- ( ph -> ( A mod E ) = ( B mod E ) )
modqadd12d.7	|- ( ph -> ( C mod E ) = ( D mod E ) )

Assertion

Ref	Expression
modqadd12d	|- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )

Proof of Theorem modqadd12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd12d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqadd12d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		modqadd12d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. QQ )
4		modqadd12d.5	. . 3 |- ( ph -> E e. QQ )
5		modqadd12d.egt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < E )
6		modqadd12d.6	. . 3 |- ( ph -> ( A mod E ) = ( B mod E ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	modqadd1 10528	. 2 |- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + C ) mod E ) )
8		qcn 9775	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
9	2, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
10		qcn 9775	. . . . . 6 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
12	9, 11	addcomd 8243	. . . 4 |- ( ph -> ( B + C ) = ( C + B ) )
13	12	oveq1d 5972	. . 3 |- ( ph -> ( ( B + C ) mod E ) = ( ( C + B ) mod E ) )
14		modqadd12d.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. QQ )
15		modqadd12d.7	. . . 4 |- ( ph -> ( C mod E ) = ( D mod E ) )
16	3, 14, 2, 4, 5, 15	modqadd1 10528	. . 3 |- ( ph -> ( ( C + B ) mod E ) = ( ( D + B ) mod E ) )
17		qcn 9775	. . . . . 6 |- ( D e. QQ -> D e. CC )
18	14, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
19	18, 9	addcomd 8243	. . . 4 |- ( ph -> ( D + B ) = ( B + D ) )
20	19	oveq1d 5972	. . 3 |- ( ph -> ( ( D + B ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )
21	13, 16, 20	3eqtrd 2243	. 2 |- ( ph -> ( ( B + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )
22	7, 21	eqtrd 2239	1 |- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   CCcc 7943   0cc0 7945   + caddc 7948   < clt 8127   QQcq 9760   mod cmo 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-q 9761  df-rp 9796  df-fl 10435  df-mod 10490

This theorem is referenced by:  modqsub12d  10548