Theorem modqadd12d 10336

Description: Additive property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd12d.1	|- ( ph -> A e. QQ )
modqadd12d.2	|- ( ph -> B e. QQ )
modqadd12d.3	|- ( ph -> C e. QQ )
modqadd12d.4	|- ( ph -> D e. QQ )
modqadd12d.5	|- ( ph -> E e. QQ )
modqadd12d.egt0	|- ( ph -> 0 < E )
modqadd12d.6	|- ( ph -> ( A mod E ) = ( B mod E ) )
modqadd12d.7	|- ( ph -> ( C mod E ) = ( D mod E ) )

Assertion

Ref	Expression
modqadd12d	|- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )

Proof of Theorem modqadd12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd12d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqadd12d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		modqadd12d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. QQ )
4		modqadd12d.5	. . 3 |- ( ph -> E e. QQ )
5		modqadd12d.egt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < E )
6		modqadd12d.6	. . 3 |- ( ph -> ( A mod E ) = ( B mod E ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	modqadd1 10317	. 2 |- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + C ) mod E ) )
8		qcn 9593	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
9	2, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
10		qcn 9593	. . . . . 6 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
12	9, 11	addcomd 8070	. . . 4 |- ( ph -> ( B + C ) = ( C + B ) )
13	12	oveq1d 5868	. . 3 |- ( ph -> ( ( B + C ) mod E ) = ( ( C + B ) mod E ) )
14		modqadd12d.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. QQ )
15		modqadd12d.7	. . . 4 |- ( ph -> ( C mod E ) = ( D mod E ) )
16	3, 14, 2, 4, 5, 15	modqadd1 10317	. . 3 |- ( ph -> ( ( C + B ) mod E ) = ( ( D + B ) mod E ) )
17		qcn 9593	. . . . . 6 |- ( D e. QQ -> D e. CC )
18	14, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
19	18, 9	addcomd 8070	. . . 4 |- ( ph -> ( D + B ) = ( B + D ) )
20	19	oveq1d 5868	. . 3 |- ( ph -> ( ( D + B ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )
21	13, 16, 20	3eqtrd 2207	. 2 |- ( ph -> ( ( B + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )
22	7, 21	eqtrd 2203	1 |- ( ph -> ( ( A + C ) mod E ) = ( ( B + D ) mod E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   + caddc 7777   < clt 7954   QQcq 9578   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by:  modqsub12d  10337