Theorem modqnegd 10382

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqnegd.1	|- ( ph -> A e. QQ )
modqnegd.2	|- ( ph -> B e. QQ )
modqnegd.3	|- ( ph -> C e. QQ )
modqnegd.cgt0	|- ( ph -> 0 < C )
modqnegd.4	|- ( ph -> ( A mod C ) = ( B mod C ) )

Assertion

Ref	Expression
modqnegd	|- ( ph -> ( -u A mod C ) = ( -u B mod C ) )

Proof of Theorem modqnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqnegd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		neg1z 9288	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
5		modqnegd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. QQ )
6		modqnegd.cgt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < C )
7		modqnegd.4	. . 3 |- ( ph -> ( A mod C ) = ( B mod C ) )
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	modqmul1 10380	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. -u 1 ) mod C ) = ( ( B x. -u 1 ) mod C ) )
9		qcn 9637	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
10	1, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
11	4	zcnd 9379	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
12	10, 11	mulcomd 7982	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. -u 1 ) = ( -u 1 x. A ) )
13	10	mulm1d 8370	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
14	12, 13	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ph -> ( A x. -u 1 ) = -u A )
15	14	oveq1d 5893	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. -u 1 ) mod C ) = ( -u A mod C ) )
16		qcn 9637	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	2, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
18	17, 11	mulcomd 7982	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. -u 1 ) = ( -u 1 x. B ) )
19	17	mulm1d 8370	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 x. B ) = -u B )
20	18, 19	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ph -> ( B x. -u 1 ) = -u B )
21	20	oveq1d 5893	. 2 |- ( ph -> ( ( B x. -u 1 ) mod C ) = ( -u B mod C ) )
22	8, 15, 21	3eqtr3d 2218	1 |- ( ph -> ( -u A mod C ) = ( -u B mod C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   CCcc 7812   0cc0 7814   1c1 7815   x. cmul 7819   < clt 7995   -ucneg 8132   ZZcz 9256   QQcq 9622   mod cmo 10325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-q 9623  df-rp 9657  df-fl 10273  df-mod 10326

This theorem is referenced by:  modqsub12d  10384