Theorem modqnegd 10765

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqnegd.1	|- ( ph -> A e. QQ )
modqnegd.2	|- ( ph -> B e. QQ )
modqnegd.3	|- ( ph -> C e. QQ )
modqnegd.cgt0	|- ( ph -> 0 < C )
modqnegd.4	|- ( ph -> ( A mod C ) = ( B mod C ) )

Assertion

Ref	Expression
modqnegd	|- ( ph -> ( -u A mod C ) = ( -u B mod C ) )

Proof of Theorem modqnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqnegd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		neg1z 9626	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
5		modqnegd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. QQ )
6		modqnegd.cgt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < C )
7		modqnegd.4	. . 3 |- ( ph -> ( A mod C ) = ( B mod C ) )
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	modqmul1 10763	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. -u 1 ) mod C ) = ( ( B x. -u 1 ) mod C ) )
9		qcn 9984	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
10	1, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
11	4	zcnd 9719	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
12	10, 11	mulcomd 8311	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. -u 1 ) = ( -u 1 x. A ) )
13	10	mulm1d 8700	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
14	12, 13	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ph -> ( A x. -u 1 ) = -u A )
15	14	oveq1d 6073	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. -u 1 ) mod C ) = ( -u A mod C ) )
16		qcn 9984	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	2, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
18	17, 11	mulcomd 8311	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. -u 1 ) = ( -u 1 x. B ) )
19	17	mulm1d 8700	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 x. B ) = -u B )
20	18, 19	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ph -> ( B x. -u 1 ) = -u B )
21	20	oveq1d 6073	. 2 |- ( ph -> ( ( B x. -u 1 ) mod C ) = ( -u B mod C ) )
22	8, 15, 21	3eqtr3d 2275	1 |- ( ph -> ( -u A mod C ) = ( -u B mod C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   < clt 8324   -ucneg 8461   ZZcz 9594   QQcq 9969   mod cmo 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709

This theorem is referenced by:  modqsub12d  10767