Theorem modqnegd 10741

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqnegd.1	|- ( ph -> A e. QQ )
modqnegd.2	|- ( ph -> B e. QQ )
modqnegd.3	|- ( ph -> C e. QQ )
modqnegd.cgt0	|- ( ph -> 0 < C )
modqnegd.4	|- ( ph -> ( A mod C ) = ( B mod C ) )

Assertion

Ref	Expression
modqnegd	|- ( ph -> ( -u A mod C ) = ( -u B mod C ) )

Proof of Theorem modqnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqnegd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		neg1z 9609	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
5		modqnegd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. QQ )
6		modqnegd.cgt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < C )
7		modqnegd.4	. . 3 |- ( ph -> ( A mod C ) = ( B mod C ) )
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	modqmul1 10739	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. -u 1 ) mod C ) = ( ( B x. -u 1 ) mod C ) )
9		qcn 9966	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
10	1, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
11	4	zcnd 9701	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
12	10, 11	mulcomd 8295	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. -u 1 ) = ( -u 1 x. A ) )
13	10	mulm1d 8683	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
14	12, 13	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ph -> ( A x. -u 1 ) = -u A )
15	14	oveq1d 6065	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. -u 1 ) mod C ) = ( -u A mod C ) )
16		qcn 9966	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	2, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
18	17, 11	mulcomd 8295	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. -u 1 ) = ( -u 1 x. B ) )
19	17	mulm1d 8683	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 x. B ) = -u B )
20	18, 19	eqtrd 2265	. . 3 |- ( ph -> ( B x. -u 1 ) = -u B )
21	20	oveq1d 6065	. 2 |- ( ph -> ( ( B x. -u 1 ) mod C ) = ( -u B mod C ) )
22	8, 15, 21	3eqtr3d 2273	1 |- ( ph -> ( -u A mod C ) = ( -u B mod C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   1c1 8128   x. cmul 8132   < clt 8308   -ucneg 8445   ZZcz 9577   QQcq 9951   mod cmo 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630  df-mod 10685

This theorem is referenced by:  modqsub12d  10743