Theorem modqnegd 10453

Description: Negation property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqnegd.1	|- ( ph -> A e. QQ )
modqnegd.2	|- ( ph -> B e. QQ )
modqnegd.3	|- ( ph -> C e. QQ )
modqnegd.cgt0	|- ( ph -> 0 < C )
modqnegd.4	|- ( ph -> ( A mod C ) = ( B mod C ) )

Assertion

Ref	Expression
modqnegd	|- ( ph -> ( -u A mod C ) = ( -u B mod C ) )

Proof of Theorem modqnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqnegd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		neg1z 9352	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> -u 1 e. ZZ )
5		modqnegd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. QQ )
6		modqnegd.cgt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < C )
7		modqnegd.4	. . 3 |- ( ph -> ( A mod C ) = ( B mod C ) )
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	modqmul1 10451	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. -u 1 ) mod C ) = ( ( B x. -u 1 ) mod C ) )
9		qcn 9702	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
10	1, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> A e. CC )
11	4	zcnd 9443	. . . . 5 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
12	10, 11	mulcomd 8043	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. -u 1 ) = ( -u 1 x. A ) )
13	10	mulm1d 8431	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
14	12, 13	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( A x. -u 1 ) = -u A )
15	14	oveq1d 5934	. 2 |- ( ph -> ( ( A x. -u 1 ) mod C ) = ( -u A mod C ) )
16		qcn 9702	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
17	2, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
18	17, 11	mulcomd 8043	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. -u 1 ) = ( -u 1 x. B ) )
19	17	mulm1d 8431	. . . 4 |- ( ph -> ( -u 1 x. B ) = -u B )
20	18, 19	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ph -> ( B x. -u 1 ) = -u B )
21	20	oveq1d 5934	. 2 |- ( ph -> ( ( B x. -u 1 ) mod C ) = ( -u B mod C ) )
22	8, 15, 21	3eqtr3d 2234	1 |- ( ph -> ( -u A mod C ) = ( -u B mod C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   < clt 8056   -ucneg 8193   ZZcz 9320   QQcq 9687   mod cmo 10396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342  df-mod 10397

This theorem is referenced by:  modqsub12d  10455