Theorem qcn 10049

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	|- ( A e. QQ -> A e. CC )

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 10046	. 2 |- QQ C_ CC
2	1	sseli 3244	1 |- ( A e. QQ -> A e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   CCcc 8183   QQcq 10034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-z 9654  df-q 10035

This theorem is used by:  qsubcl  10053  qapne  10054  qdivcl  10058  qrevaddcl  10059  irradd  10061  irraddap  10062  irrmul  10063  irrmulap  10064  qavgle  10709  divfl0  10751  flqzadd  10753  intqfrac2  10776  flqdiv  10778  modqvalr  10782  flqpmodeq  10784  modq0  10786  mulqmod0  10787  negqmod0  10788  modqlt  10790  modqdiffl  10792  modqfrac  10794  flqmod  10795  intqfrac  10796  modqmulnn  10799  modqvalp1  10800  modqid  10806  modqcyc  10816  modqcyc2  10817  modqadd1  10818  modqaddabs  10819  modqmuladdnn0  10825  qnegmod  10826  modqadd2mod  10831  modqm1p1mod0  10832  modqmul1  10834  modqnegd  10836  modqadd12d  10837  modqsub12d  10838  q2txmodxeq0  10841  q2submod  10842  modqmulmodr  10847  modqaddmulmod  10848  modqdi  10849  modqsubdir  10850  modqeqmodmin  10851  qsqcl  11068  qsqeqor  11107  eirraplem  12568  bezoutlemnewy  12797  sqrt2irraplemnn  12983  pcqdiv  13114  pcexp  13116  pcadd  13147  pcadd2  13148  qexpz  13159  4sqlem5  13189  4sqlem10  13194  logbgcd1irraplemap  16222  ex-ceil  16962  qdencn  17295  rirrdisj  17308  apdifflemf  17319  apdifflemr  17320  apdiff  17321  qdiff  17322