Theorem qcn 9757

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	|- ( A e. QQ -> A e. CC )

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9754	. 2 |- QQ C_ CC
2	1	sseli 3189	1 |- ( A e. QQ -> A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   CCcc 7925   QQcq 9742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-z 9375  df-q 9743

This theorem is referenced by:  qsubcl  9761  qapne  9762  qdivcl  9766  qrevaddcl  9767  irradd  9769  irrmul  9770  irrmulap  9771  qavgle  10403  divfl0  10441  flqzadd  10443  intqfrac2  10466  flqdiv  10468  modqvalr  10472  flqpmodeq  10474  modq0  10476  mulqmod0  10477  negqmod0  10478  modqlt  10480  modqdiffl  10482  modqfrac  10484  flqmod  10485  intqfrac  10486  modqmulnn  10489  modqvalp1  10490  modqid  10496  modqcyc  10506  modqcyc2  10507  modqadd1  10508  modqaddabs  10509  modqmuladdnn0  10515  qnegmod  10516  modqadd2mod  10521  modqm1p1mod0  10522  modqmul1  10524  modqnegd  10526  modqadd12d  10527  modqsub12d  10528  q2txmodxeq0  10531  q2submod  10532  modqmulmodr  10537  modqaddmulmod  10538  modqdi  10539  modqsubdir  10540  modqeqmodmin  10541  qsqcl  10758  qsqeqor  10797  eirraplem  12121  bezoutlemnewy  12350  sqrt2irraplemnn  12534  pcqdiv  12663  pcexp  12665  pcadd  12696  pcadd2  12697  qexpz  12708  4sqlem5  12738  4sqlem10  12743  logbgcd1irraplemap  15474  ex-ceil  15699  qdencn  16003  apdifflemf  16022  apdifflemr  16023  apdiff  16024