Theorem modqsub12d 10280

Description: Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqadd12d.1	|- ( ph -> A e. QQ )
modqadd12d.2	|- ( ph -> B e. QQ )
modqadd12d.3	|- ( ph -> C e. QQ )
modqadd12d.4	|- ( ph -> D e. QQ )
modqadd12d.5	|- ( ph -> E e. QQ )
modqadd12d.egt0	|- ( ph -> 0 < E )
modqadd12d.6	|- ( ph -> ( A mod E ) = ( B mod E ) )
modqadd12d.7	|- ( ph -> ( C mod E ) = ( D mod E ) )

Assertion

Ref	Expression
modqsub12d	|- ( ph -> ( ( A - C ) mod E ) = ( ( B - D ) mod E ) )

Proof of Theorem modqsub12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqadd12d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. QQ )
2		modqadd12d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. QQ )
3		modqadd12d.3	. . . 4 |- ( ph -> C e. QQ )
4		qnegcl 9545	. . . 4 |- ( C e. QQ -> -u C e. QQ )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> -u C e. QQ )
6		modqadd12d.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. QQ )
7		qnegcl 9545	. . . 4 |- ( D e. QQ -> -u D e. QQ )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> -u D e. QQ )
9		modqadd12d.5	. . 3 |- ( ph -> E e. QQ )
10		modqadd12d.egt0	. . 3 |- ( ph -> 0 < E )
11		modqadd12d.6	. . 3 |- ( ph -> ( A mod E ) = ( B mod E ) )
12		modqadd12d.7	. . . 4 |- ( ph -> ( C mod E ) = ( D mod E ) )
13	3, 6, 9, 10, 12	modqnegd 10278	. . 3 |- ( ph -> ( -u C mod E ) = ( -u D mod E ) )
14	1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 13	modqadd12d 10279	. 2 |- ( ph -> ( ( A + -u C ) mod E ) = ( ( B + -u D ) mod E ) )
15		qcn 9543	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
17		qcn 9543	. . . . 5 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
18	3, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
19	16, 18	negsubd 8192	. . 3 |- ( ph -> ( A + -u C ) = ( A - C ) )
20	19	oveq1d 5839	. 2 |- ( ph -> ( ( A + -u C ) mod E ) = ( ( A - C ) mod E ) )
21		qcn 9543	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
22	2, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
23		qcn 9543	. . . . 5 |- ( D e. QQ -> D e. CC )
24	6, 23	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> D e. CC )
25	22, 24	negsubd 8192	. . 3 |- ( ph -> ( B + -u D ) = ( B - D ) )
26	25	oveq1d 5839	. 2 |- ( ph -> ( ( B + -u D ) mod E ) = ( ( B - D ) mod E ) )
27	14, 20, 26	3eqtr3d 2198	1 |- ( ph -> ( ( A - C ) mod E ) = ( ( B - D ) mod E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   CCcc 7730   0cc0 7732   + caddc 7735   < clt 7912   - cmin 8046   -ucneg 8047   QQcq 9528   mod cmo 10221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529  df-rp 9561  df-fl 10169  df-mod 10222

This theorem is referenced by:  modqsubmod  10281  modqsubmodmod  10282