ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqsub12d Unicode version

Theorem modqsub12d 10280
Description: Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
modqadd12d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
modqadd12d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
modqadd12d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  QQ )
modqadd12d.4  |-  ( ph  ->  D  e.  QQ )
modqadd12d.5  |-  ( ph  ->  E  e.  QQ )
modqadd12d.egt0  |-  ( ph  ->  0  <  E )
modqadd12d.6  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
modqadd12d.7  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
Assertion
Ref Expression
modqsub12d  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  mod  E
)  =  ( ( B  -  D )  mod  E ) )

Proof of Theorem modqsub12d
StepHypRef Expression
1 modqadd12d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  QQ )
2 modqadd12d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  QQ )
3 modqadd12d.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  QQ )
4 qnegcl 9545 . . . 4  |-  ( C  e.  QQ  ->  -u C  e.  QQ )
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u C  e.  QQ )
6 modqadd12d.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  QQ )
7 qnegcl 9545 . . . 4  |-  ( D  e.  QQ  ->  -u D  e.  QQ )
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u D  e.  QQ )
9 modqadd12d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  QQ )
10 modqadd12d.egt0 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  E )
11 modqadd12d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
12 modqadd12d.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
133, 6, 9, 10, 12modqnegd 10278 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u C  mod  E )  =  ( -u D  mod  E ) )
141, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 13modqadd12d 10279 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  -u C )  mod  E
)  =  ( ( B  +  -u D
)  mod  E )
)
15 qcn 9543 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
161, 15syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
17 qcn 9543 . . . . 5  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
183, 17syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1916, 18negsubd 8192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u C )  =  ( A  -  C ) )
2019oveq1d 5839 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  -u C )  mod  E
)  =  ( ( A  -  C )  mod  E ) )
21 qcn 9543 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
222, 21syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
23 qcn 9543 . . . . 5  |-  ( D  e.  QQ  ->  D  e.  CC )
246, 23syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2522, 24negsubd 8192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  +  -u D )  =  ( B  -  D ) )
2625oveq1d 5839 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  -u D )  mod  E
)  =  ( ( B  -  D )  mod  E ) )
2714, 20, 263eqtr3d 2198 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  mod  E
)  =  ( ( B  -  D )  mod  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   CCcc 7730   0cc0 7732    + caddc 7735    < clt 7912    - cmin 8046   -ucneg 8047   QQcq 9528    mod cmo 10221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529  df-rp 9561  df-fl 10169  df-mod 10222
This theorem is referenced by:  modqsubmod  10281  modqsubmodmod  10282
  Copyright terms: Public domain W3C validator