Theorem modqaddmod 10271

Description: The sum of a number modulo a modulus and another number equals the sum of the two numbers modulo the same modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqaddmod	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> ( ( ( A mod M ) + B ) mod M ) = ( ( A + B ) mod M ) )

Proof of Theorem modqaddmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> A e. QQ )
2		simprl 521	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> M e. QQ )
3		simprr 522	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> 0 < M )
4	1, 2, 3	modqcld 10236	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> ( A mod M ) e. QQ )
5		simplr 520	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> B e. QQ )
6		modqabs2 10266	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ M e. QQ /\ 0 < M ) -> ( ( A mod M ) mod M ) = ( A mod M ) )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> ( ( A mod M ) mod M ) = ( A mod M ) )
8	4, 1, 5, 2, 3, 7	modqadd1 10269	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( M e. QQ /\ 0 < M ) ) -> ( ( ( A mod M ) + B ) mod M ) = ( ( A + B ) mod M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   0cc0 7734   + caddc 7737   < clt 7914   QQcq 9534   mod cmo 10230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-q 9535  df-rp 9567  df-fl 10178  df-mod 10231

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  10273  modqadd2mod  10282  modqm1p1mod0  10283  modqltm1p1mod  10284  modqaddmulmod  10299  addmodlteq  10306  p1modz1  11701