Theorem modqabs2 10484

Description: Absorption law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqabs2	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) mod B ) = ( A mod B ) )

Proof of Theorem modqabs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> A e. QQ )
2		simp2 1000	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. QQ )
3		simp3 1001	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> 0 < B )
4		qre 9728	. . . 4 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
5	2, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B e. RR )
6	5	leidd 8569	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> B <_ B )
7	1, 2, 3, 2, 6	modqabs 10483	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( ( A mod B ) mod B ) = ( A mod B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934   RRcr 7906   0cc0 7907   < clt 8089   QQcq 9722   mod cmo 10448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-q 9723  df-rp 9758  df-fl 10394  df-mod 10449

This theorem is referenced by:  modqaddabs  10488  modqaddmod  10489  modqsubmod  10508  modqsubmodmod  10509  modqmulmod  10515  modqaddmulmod  10517  modfsummodlemstep  11687  eulerthlema  12471  prmdiveq  12477  powm2modprm  12494  znf1o  14331  lgsvalmod  15414  lgsmod  15421  lgseisenlem2  15466  lgseisenlem3  15467